N-мірні вектори і операції над ними

1.1. n -мірним ВЕКТОРИ І ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

n -мірним вектором називається упорядкований набір з n дійсних чисел, записуваних у вигляді рядка або стовпця. Число називають i -й координатою вектора. Кількість координат у вектора називають його розмірністю. Наприклад, (1; 3; -1; -2; 7) - пятімерний вектор.

Якщо у n -мірних векторів і. мають одну і ту ж розмірність, однойменні координати рівні, тобто якщо. то такі вектори називають рівними і записують як. Якщо ж хоча б одна пара однойменних координат у векторів і різна, то. Вектор, у якого всі координати дорівнюють нулю, називають нульовим -.

Введемо лінійні операції над векторами - множення вектора на дійсне число, додавання і віднімання векторів.

Твором вектора на дійсне чіслоl називається вектор

т. е. при множенні вектора на число кожна його координата множиться на це число. Знаючи вектор, можна отримати протилежний вектор.

Сумою векторів і називається вектор

т. е. при додаванні векторів однієї і тієї ж розмірності їх відповідні координати почленно складаються.

т. е. сума протилежних векторів дає нульовий вектор.

Використовуючи поняття протилежного вектора, можна визначити операцію віднімання векторів

т. е. при відніманні двох векторів однієї і тієї ж розмірності їх відповідні координати почленно віднімаються.

Економічні величини є, як правило, багатовимірними, і вектори служать зручною формою їх подання. Наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати вектором. а відповідні ціни - вектором.

Лінійні операції над векторами задовольняють наступним властивостям:

6. Для такої, що

8. нульовий елемент такої, що для.

Скалярним добутком двох n -мірних векторів і називається число, що позначається і яка дорівнює загальній кількості творів відповідних координат векторів і.

В економічних задачах можна розглядати скалярний твір вектора цін на вектор обсягу продукції. Воно в цьому випадку дає сумарну вартість продукції при цінах.

Скалярний добуток векторів має такі властивості:

1. причому тоді і тільки тоді, коли.