Момент сили відносно центру

Розглянемо тіло, яке закріплене в центрі О і може повертатися навколо осі, що проходить через точку О і перпендикулярної до площини креслення. Докладемо в точці А цього тіла силу P і з'ясуємо, чим визначається обертальний дію цієї сили (Рис.1).

Очевидно, що вплив сили на тіло буде залежати не тільки від її величини, а й від того, як вона спрямована, і в кінцевому підсумку буде визначатися її моментом щодо центру О.

Визначення 1. Моментом сили Р відносно центра О називається взяте зі знаком $ \ pm $ твір модуля сили на її плече - тобто довжину перпендикуляра, опущеного з моментной точки на лінію дії сили.

Правило знаків: момент сили вважається позитивним. якщо сила прагне повернути тіло проти годинникової стрілки і негативним, якщо вона обертає тіло по ходу годинникової стрілки.

Відповідно до даного визначення момент сили чисельно дорівнює подвоєною площі трикутника OAB, побудованого на векторі сили P з вершиною в моментной точці: $ M_0 (P) = P \ cdot d = 2S \ Delta_ $.

Відзначимо, що момент сили відносно точки О дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через моментную точку.

Розглянуте визначення моменту сили підходить тільки для плоскої системи сил. У загальному випадку для однозначного опису обертального дії сили введемо таке визначення.

Визначення 2. Вектор-моментом сили Р відносно центра О називається вектор, який:

прикладений в моментной точці Про перпендикулярно до площини трикутника, побудованого на векторі сили з вершиною в моментной точці;

спрямований за правилом право гвинта;

дорівнює по модулю моменту сили Р відносно центра О (рис.1).

Правило правого гвинта. відоме також з курсу фізики як правило гвинта. означає, що якщо дивитися назустріч вектор-моменту $ \ vec (\ vec

) $. ми побачимо обертання силою $ \ vec

$ Площині своєї дії, що відбувається проти годинникової стрілки.

Позначимо через $ \ vec $ радіус-вектор точки прикладання сили $ \ vec

$ І доведемо, що справедлива наступна

Теорема 1. Вектор-момент сили $ \ vec

$ Відносно центру Про дорівнює векторному добутку радіус-вектора $ \ vec $ і вектора сили $ \ vec

$:

Нагадаємо, що векторних твором векторів $ \ vec \ text<и>\ Vec $ називається вектор $ \ vec $. який (рис.2б):

перпендикулярний до векторів $ \ vec \ text<и>\ Vec $;

утворює з ними праву трійку векторів. тобто, спрямований так, що, дивлячись назустріч цьому вектору, ми побачимо поворот від вектора $ \ vec $ до вектору $ \ vec $ на найменший кут тим, що відбувається проти годинникової стрілки;

дорівнює по модулю подвоєною площі трикутника, побудованого на цих векторах:

Для доведення теореми відзначимо, по-перше. що вектор, рівний векторному добутку векторів $ \ vec \ text<и>\ vec

$ Буде колінеарну вектору $ \ vec (\ vec

) $.

Щоб переконатися в цьому, досить відкласти ці вектори від однієї точки (ріс.1в). Отже, $ (\ vec \ times \ vec

) \ Uparrow \ uparrow \ vec (\ vec

) $.

По-друге. модуль векторного добутку цих векторів буде дорівнює:

звідки і слід співвідношення теореми.

Наслідком цієї теореми є:

Теорема Варіньона (про момент рівнодіючої сходяться сил). Вектор момент рівнодіючої системи сходяться сил щодо довільного центру Про дорівнює геометричній сумі вектор-моментів всіх сил системи відносно цього центру:

Для плоскої системи збіжних сил геометрична сума в теоремі Варіньона переходить в алгебраїчну:

Примітка

У навчальній літературі термін «момент» застосовують для позначення як моменту сили, так і її вектор-моменту.