Межа функції однієї змінної

Тут може бути застосована теорема про межі приватного, так як існують кінцеві межі чисельника і знаменника, і межа знаменника не дорівнює нулю.

Тут використана теорема про зв'язок нескінченно малої і нескінченно великою функцій.

Межі чисельника і знаменника дробу рівні

. У цьому випадку говорять, що є невизначеність виду «нескінченність на нескінченність». Теорема про межі приватного тут не може бути застосована.

Щоб розкрити невизначеність виду

при, кожен член чисельника і знаменника дробу ділять наxв найвищого ступеня (в нашому прикладі на х2), чому величина дробу не зміниться, але зникне невизначеність.

(По теоремі про зв'язок нескінченно великий і нескінченно малої функцій).

Зауваження. Корисно запам'ятати, що при

межа відносини многочленів c однаковими найвищими ступенями дорівнює відношенню коефіцієнтів при цих ступенях.

У нашому прикладі, коефіцієнти при найвищого ступеня х2 многочленів рівні 3 і 4, тому і межа дробу дорівнює

.

еквівалентні нескінченно малі функції

1. Чудові межі:

перший чудовий межа:

;

другий чудовий межа:

,

або в іншій формі:

,

де - ірраціональне число.

Другий чудовий межа використовується для розкриття невизначено-сти виду

.

2. Дві нескінченно малі функції

(X) і (X) називаються еквівалентними при, якщо= 1. У цьому випадку пішут (x)

Границя відношення двох нескінченно малих функції не зміниться, якщо кожну або одну з них замінити еквівалентною їй нескінченно малої функцією.

Найбільш часто використовують еквівалентність наступних нескінченно малих функцій при

: