Магічні квадрати варна 2018 - автореферат дисертації

4. Квадрати Генрі Е. Дьюдени і Алана У. Джонсона-мл ................................. ..7

5. Магічний квадрат Ян Хуея (Китай) ...................................................... .8

6. Квадрат Альбрехта Дюрера ................................................................... 9

7. Диявольський магічний квадрат .......................................................... 11

Великі вчені давнину вважали кількісні відносини основою сутності світу. Тому числа і їх співвідношення займали найбільші розуми людства. «У дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що становив ... магічні квадрати» - писав Бенджамін Франклін.

На факультативних заняттях з математики ми вирішували магічні квадрати. Це заняття мене дуже зацікавило, і я вирішила розкрити цю тему.

Деякі видатні математики, наприклад Артур Келі і Освальд Веблен, присвятили свої роботи магічним квадратах і отримані ними результати вплинули на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиття, матриць, порівнянь та інших нетривіальних розділів математики.

Мета цієї роботи - знайомство з різними магічними квадратами, латинськими квадратами і вивчення областей їх застосування.

Для того, щоб досягти поставлених цілей, необхідно виконати наступні завдання:

розглянути магічні квадрати різних вчених, історично значимий магічний квадрат і латинські магічні квадрати;

розглянути сферу застосування магічних квадратів.

Магічний, або чарівний квадрат - це квадратна таблиця. заповнена n2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці і на обох діагоналях однакова. Якщо в квадраті рівні суми чисел тільки в рядках і стовпцях, то він називається полумагические. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n2. Магічний квадрат називається асоціативним або симетричним, якщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n2 + 1.

«Порядком» магічного квадрата називається число клітин, що примикають до його стороні (байдуже, який саме).

Магічних квадратів порядку 2 не існує, а близько 3 існує лише один (якщо не брати до уваги магічних квадратів, які утворюються з нього при поворотах і відображеннях). Запам'ятати єдиний магічний квадрат третього порядку неважко. Спочатку впишемо в усі клітини квадрата цифри в тому порядку, як показано на малюнку 1 зліва, потім поміняємо місцями цифри, які стоять на протилежних кінцях головних діагоналей (ця операція на малюнку показана стрілками). В результаті ми отримаємо магічний квадрат (на малюнку 1 справа), константа якого (тобто сума чисел у кожному рядку, стовпці і на діагоналях) дорівнює 15.

Також константа позначається буквою М. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається наступною формулою:

Перші значення магічних констант наведені в наступній таблиці:

Сума чисел на будь-який горизонталі, вертикалі і діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2 × 2, в центральному квадраті (10 + 11 + 6 + 7), в квадраті з кутових клітин (16 + 13 + 4 + 1 ), в квадратах, побудованих «ходом коня» (2 + 8 + 9 + 15 і 3 + 5 + 12 + 14), в прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3 + 2 + 15 + 14 і 5 + 8 + 9 + 12). Більшість додаткових симетрій пов'язано з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.

Існує простий спосіб побудови таких квадратів. Варто лише взяти квадрат, розділити його на 16 клітин і в кожну з них по порядку вписати числа від 1 до 16, а потім поміняти місцями числа, розташовані на головних діагоналях симетрично щодо центру, і симетричний магічний квадрат готовий. Дюрер переставив у свого квадрата два середніх шпальти (що не вплинуло на властивості квадрата) так, що числа в двох середніх клітинах нижнього рядка стали вказувати дату створення гравюри.

Диявольський магічний квадрат

Найдавніший з дійшли до нас квадратів четвертого порядку був виявлений в написи XI або XII століття, знайденої в Кхаджурахо (Індія). Він показаний на рис. 5 внизу. Цей магічний квадрат відноситься до різновиду так званих «диявольських» квадратів (або «пандіагональних», або «Насік»), ще більш дивних, ніж симетричні. Крім звичайних властивостей, диявольські квадрати є магічними по всім «ламаним діагоналях». Наприклад числа 2, 12, 15 і 5, а також 2, 3, 15 і 14 стоять на ламаних диагоналях, які можна відновити, поставивши поруч два однакових квадрата. Диявольський квадрат залишається диявольським, якщо його верхній рядок переставити вниз або, навпаки, нижній рядок помістити наверх, а також якщо викреслити останній стовпець праворуч або ліворуч і приписати його до квадрату з протилежного боку. Якщо з однакових диявольських квадратів викласти мозаїку (кожен квадрат повинен впритул примикати до своїх сусідів), то вийде щось на зразок паркету, в якому числа, які стоять в будь-якій групі клітин 4х4, будуть утворювати диявольський квадрат. Числа в чотирьох клітинах, таких послідовно одна за одною, як би вони не були розташовані - по вертикалі, по горизонталі або по діагоналі, - в сумі завжди дають постійну квадрата.

Ймовірно, найбільш дивним способом опису властивостей диявольських квадратів був розроблений Дж. Б. Россером і

Р. Дж. Уокером. Звернемо квадрат в трубку, потім растянем її і зігніть так, щоб вона перетворилася в тор (рис. 5). Всі рядки, стовпці і діагоналі диявольського квадрата при цьому перетворяться в замкнуті криві. Почавши рухатися з будь-якої клітини і зробивши з неї два кроки по діагоналі (тобто перестрибнувши через одну клітку), ми завжди опинимося в одній і тій же клітині, в якому б напрямку ми не йшли. Цю клітку називають «антиподом» тієї, з якою ми почали свою подорож. Сума чисел в будь-яких двох антиподах для нашого диявольського тора дорівнює 17. Будь-яка замкнута смужка з чотирьох клітин, розташованих уздовж меридіана, паралелі або по діагоналі, містить числа, сума яких, так само

як і для будь-яких чотирьох клітин, що утворюють на поверхні квадрата «латочку»,

Диявольський квадрат залишається диявольським, якщо над ним виробляти п'ять різних перетворень: 1) поворот; 2) відображення; 3) перестановку рядки зверху вниз і навпаки; 4) закреслення стовпця праворуч або ліворуч і переписуючи його з протилежного боку і 5) особливу перестановку клітин, схема якої показана на рис. 6. Комбінуючи ці п'ять перетворень, можна отримати 48 основних типів диявольських квадратів (якщо вважати, що до допустимих перетворень відносяться повороти і відображення, то число типів зросте до 384). Як показали Россер і Уокер, ці перетворення утворюють «групу» (тобто якусь абстрактну структуру, що володіє певними властивостями), збігається з групою перетворень гиперкуба (чотиривимірного куба) в себе.

Зв'язок між диявольськими квадратами і гіперкуб неважко побачити, якщо 16 клітин квадрата зіставити з 16 вершинами гиперкуба. Відповідність між клітинами і вершинами можна показати на добре знайомій двовимірної проекції гіперкуба (рис. 7). Сума чисел, що стоять в чотирьох вершинах кожної з 24 квадратних граней гіперкуба, дорівнює 34. Пари антиподів, що дають в сумі 17, розташовані в протилежних кінцях діагоналей гиперкуба.

Повертаючи гиперкуб і виробляючи відображення, його можна перевести в 384 різних положення, кожне з яких відображається на площину як один з 384 диявольських квадратів.

Клод Ф. Брегдон, відомий американський архітектор, який помер в 1946 році, виявив, що, з'єднавши одну за одною клітини магічних квадратів ламаної, ми в більшості випадків отримаємо витончений візерунок. Подібні візерунки можна отримати, поєднуючи клітини тільки з парними або тільки з непарними числами. Отримані таким способом «магічні лінії» Брегдон використовував як зразки малюнків для тканин, книжкових обкладинок, архітектурних прикрас і декоративних заставок. Останні він зробив до кожної чолі своєї автобіографії. Придуманий їм візерунок для вентиляційної решітки в стелі Торгової палати в Рочестері (штат Нью-Йорк), де він жив, побудований з магічною ламаної талісмана ло-шу. Типовий приклад магічною ламаної показаний на рис. 8, де візерунок викреслений прямо на квадраті Дюрера.

Не дивлячись на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати найбільше застосування в науці і техніці знайшли латинські квадрати.

Латинським квадратом називається квадрат nXn клітин, в яких написані числа 1, 2, ..., n, до того ж так, що в кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються всі ці числа по одному разу. Нижче зображені два таких квадрата 4X4. Вони мають цікаву особливість: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари одержані чисел виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними.

Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р було доведено, що такого рішення не існує. У той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і для таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для інших значень n, тобто якщо число n при діленні на 4 дасть в залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р було доведено, що ортогональних квадратів 6х6 не існує, і це посилювало впевненість в справедливості гіпотези Ейлера. Однак в 1959 р допомогою ЕОМ були знайдені спочатку ортогональні квадрати 10х10, потім 14х14, 18х18, 22х22. А потім було показано, що для будь-якого n. крім 6, існують ортогональні квадрати nхn.

Магічні і латинські квадрати - близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональних квадрата. Заповнимо клітини нового квадрата тих же розмірів

наступним чином. Поставимо туди число n (a - 1) + b, де а - число в такій клітці першого квадрата, а b - число в такий же клітці другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел в рядках і стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.

Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як в самій математиці, так і в її додатках. Наведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати 4 сорти пшениці на врожайність в даній місцевості, причому хочемо врахувати вплив ступеня розрідженості посівів і вплив двох видів добрив. Для того розіб'ємо квадратний ділянку землі на 16 ділянок (рис.4). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, відповідних нижньої горизонтальній смузі, наступний сорт - на чотирьох ділянках, відповідних наступній смузі, і т. Д. (На малюнку сорт позначений кольором). При цьому максимальна густота посівів нехай буде на тих ділянках, які відповідають лівому вертикальному стовпчику малюнка, і зменшується при переході вправо (на малюнку цьому відповідає зменшення інтенсивності кольору). Цифри ж, що стоять в клітинах малюнка, нехай означають: перша - кількість кілограмів добрива першого виду, внесеного на цю ділянку, а друга - кількість внесеного добрива другого виду. Неважко зрозуміти, що при цьому реалізовані всі можливі пари сполучень як сорти і густоти посіву, так і інших компонентів: сорти і добрив першого виду, добрив першого і другого видів, густоти і добрив другого виду.

Використання ортогональних латинських квадратів допомагає врахувати всі можливі варіанти в експериментах в сільському господарстві, фізики, хімії, техніці.

У цьому рефераті розглянуті питання, пов'язані з історією розвитку одного з питань математики, який обіймав уми дуже багатьох великих людей, - магічних квадратів. Незважаючи на те, що власне магічні квадрати не знайшли широкого застосування в науці і техніці, вони спонукали на заняття математикою безліч непересічних людей і сприяли розвитку інших розділів математики (теорії груп, визначників, матриць і т.д.).

Найближчі родичі магічних квадратів - латинські квадрати знайшли численні застосування, як в математиці, так і в її додатках при постановці і обробці результатів експериментів. У рефераті наведено приклад постановки такого експерименту.

У рефераті також розглянуто питання про історично значущому магічному квадраті, про квадраті Альбрехта Дюрера і про диявольському магічному квадраті.

1. І.Я. Депман; Н.Я.Віленкін «За сторінками підручника математики», Київ, «Просвещение», 1989 р.

2. В.П Трутнєв «Вважай, вирішуй, відгадувати!», Київ, «Просвещение», 1970р.

Болл У. Коксетер Г. «Математичні есе і розваги», Київ, «Мир», 1986р.

4. Енциклопедичний словник юного математика. М. «Педагогіка», 1989р.

Схожі документи:

Основна освітня програма