Криві Безьє - це

Криві Безьє були розроблені в 60-х роках XX століття незалежно один від одного П'єром Безьє (Bézier) з автомобілебудівної компанії «Рено» і Полем де Кастель (de Casteljau) з компанії «Сітроен», де застосовувалися для проектування кузовів автомобілів.

Незважаючи на те, що відкриття де Кастель було зроблено дещо раніше Безьє (1959), його дослідження не публікувалися і ховалися компанією як виробнича таємниця до кінця 1960-х.

Вперше криві були представлені широкій публіці в 1962 році французьким інженером П'єром Безьє, який, розробивши їх незалежно від де Кастель, використовував їх для комп'ютерного проектування автомобільних кузовів. Криві були названі ім'ям Безьє, а ім'ям де Кастель названий розроблений ним рекурсивний спосіб визначення кривих (алгоритм де Кастель).

визначення

Крива Безьє - параметрична крива. задається виразом

де - функція компонент векторів опорних вершин, а - базисні функції кривої Безьє, звані також поліномами Бернштейна.

, де n - ступінь полінома, i - порядковий номер опорної вершини

Види кривих Безьє

лінійні криві

При n = 1 крива є відрізком прямої лінії, опорні точки P0 і P1 визначають його початок і кінець. Крива задається рівнянням:

.

квадратичні криві

Квадратична крива Безьє (n = 2) задається 3-ма опорними точками: P0. P1 і P2.

.

Квадратичні криві Безьє в складі сплайнів використовуються для опису форми символів в шрифтах SWF файлах.

кубічні криві

У параметричної формі кубічна крива Безьє (n = 3) описується наступним рівнянням:

.

Кубічна крива Безьє

Чотири опорні точки P0. P1. P2 і P3. задані в 2-х або 3-вимірному просторі визначають форму кривої.

Лінія бере початок з точки P0 прямуючи до P1 і закінчується в точці P3 підходячи до неї з боку P2. Тобто крива не проходить через точки P1 і P2. вони використовуються для вказівки її напрямки. Довжина відрізка між P0 і P1 визначає, як скоро крива поверне до P3.

У матричної формі кубічна крива Безьє записується в такий спосіб:

,

де називається базисної матрицею Безьє:

У сучасних графічних системах, таких як GIMP для подання криволінійних форм використовуються сплайни Безьє, складені з кубічних кривих.

Побудова кривих Безьє

лінійні криві

Параметр t у функції, яка описує лінійний випадок кривої Безьє, визначає де саме на відстані від P0 до P1 знаходиться B (t). Наприклад, при t = 0,25 значення функції B (t) відповідає чверті відстані між точками P0 і P1. Параметр t змінюється від 0 до 1, а B (t) описує відрізок прямої між точками P0 і P1.

квадратичні криві

Для побудови квадратичних кривих Безьє потрібно виділення двох проміжних точок Q0 і Q1 з умови щоб параметр t змінювався від 0 до 1:

• Точка Q0 змінюється від P0 до P1 і описує лінійну криву Безьє.
• Точка Q1 змінюється від P1 до P2 і також описує лінійну криву Безьє.
• Точка B змінюється від Q0 до Q1 і описує квадратичну криву Безьє.

Побудова квадратичної кривої Безьє

Дивитися що таке "Криві Безьє" в інших словниках:

криві Безьє - (Bezier curves) Математичні рівняння, що застосовуються для опису форм знаків в цифрових шрифтах [шрифт, описаний за допомогою цифрових даних]. Названі на честь французького математика П'єра Безьє (1910-99), який розробив математичне ... ... шрифтових термінологія

Кубічні криві Безьє - Криві Безьє були розроблені в 60 х роках XX століття незалежно один від одного П'єром Безьє (Bézier) з автомобілебудівної компанії «Рено» і Полем де Кастель (de Casteljau) з компанії «Сітроен», де застосовувалися для проектування кузовів ... ... вікіпедія

Безьє - I. Безьє I нескл. beziers. Солодке дессертное мускатне вино невисокого ґатунку. Вавилов 1856. бордоською вино з округу Безьер. II. Безьє II Існує і зворотний вплив промисловості на методи машинної графіки. Найвідоміший приклад такого ... ... Історичний словник галліцізмов української мови

Крива Безьє - Криві Безьє або Криві Бернштейна Безьє були розроблені в 60 х роках XX століття незалежно один від одного П'єром Безьє (Pierre Bézier) з автомобілебудівної компанії «Рено» і Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau) з компанії «Сітроен» ... вікіпедія

Кубічна крива Безьє - Криві Безьє були розроблені в 60 х роках XX століття незалежно один від одного П'єром Безьє (Bézier) з автомобілебудівної компанії «Рено» і Полем де Кастель (de Casteljau) з компанії «Сітроен», де застосовувалися для проектування кузовів ... ... вікіпедія

Bezier curves - Криві Безьє (Bezier curves) Математичні рівняння, що застосовуються для опису форм знаків в цифрових шрифтах [шрифт, описаний за допомогою цифрових даних]. Названі на честь французького математика П'єра Безьє (1910-99), який розробив ... ... шрифтових термінологія

Сплайн - (від англ. Spline, від [flat] spline гнучке лекало, смуга металу, що використовується для креслення кривих ліній) функція, область визначення якої розбита на кінцеве число відрізків, на кожному з яких сплайн збігається з деяким ... ... Вікіпедія

Векторна графіка - Приклад, який показує різницю між векторної, фрактальної і растровою графікою при збільшенні. a: вихідне векторне зображення; b: ілюстрація, збільшена в 8 разів як векторне зображення; c: іллюст ... Вікіпедія