Як почати розбиратися в алгебрі

Деяким учням алгебра дається важко. Крім чисел в алгебраїчних рівняннях присутні букви, які представляють собою невідомі значення. На перший погляд це досить складно, але якщо розібратися з деякими основними концепціями і попрактикуватися у вирішенні завдань, можна з легкістю впоратися з алгеброю. Вивчивши основи, ви зрозумієте, наскільки алгебра корисна, в тому числі в повсякденному житті!

кроки Правити

Частина 1 з 4: Правильний порядок операцій Правити

Запам'ятайте правильний порядок виконання математичних операцій. Порядок такої: дужки, ступінь, множення і ділення, додавання і віднімання. Вирішуючи будь-яке завдання, почніть з виразу в дужках, потім перейдіть до наступної операції (як указано порядку) і закінчите відніманням. [1]

• Порядок виконання операцій над виразом в дужках такий же, як наведений вище.
• Множення і ділення вважаються рівнозначними операціями, які можна виконати одночасно. Тому просто виконуйте операції зліва направо.
• Додавання і віднімання також є рівнозначними операціями, тому виконуйте їх зліва направо.
• Ще раз про порядок: дужки, ступінь, множення і ділення, додавання і віднімання.

Використовуйте порядок виконання операцій для вирішення завдань. Будь-яку алгебраїчну задачу потрібно вирішувати за допомогою відповідного порядку виконання математичних операцій. У багатьох задачах присутні дужки, з яких потрібно починати рішення. Множення і ділення вважаються рівнозначними операціями, тому виконуйте їх зліва направо; це ж стосується додавання і віднімання. [2]

• Наприклад: обчисліть (3 + 6) х 7 - 4/2.
• Дужки: 9 х 7 - 4/2
• Ступінь: немає
• Множення: 63 - 4/2
• Розподіл: 63 - 2
• Додавання: немає
• Віднімання: 61
• Відповідь: (3 + 6) х 7 - 4/2 = 61.

Практикуйтеся в рішенні задач. [3] Чим більше завдань ви вирішите, тим швидше освоїте навички їх вирішення. Зрештою, ви будете автоматично виконувати операції в правильному порядку. Вирішіть таку кількість завдань, яке дозволить вам відчувати себе впевнено в їх вирішенні.

• Приклад 1: 8 + (6 x 4 2 + 7) = 8 + (6 x 16 + 7) = 8 + (96 + 7) = 8 + 103 = 111.
• Приклад 2: 30/2 + 5 2 - (6 x 3) = 30/2 + 5 2 - 18 = 30/2 + 25 - 18 = 15 + 25 - 18 = 40 - 18 = 22.

Пам'ятайте, що рішення алгебраїчних завдань подібно складання мозаїки. Будь-яке завдання складається з окремих елементів, схожих на шматочки мозаїки. Щоб спростити рішення задачі, навчитеся визначати цифри, змінні і їх позиції.

• Знайдіть невідоме число в завданню, в якій дано остаточну відповідь.
• Наприклад: 1 + __ = 9
• Невідоме число - це число 8, так як 1 плюс 8 одно 9. Досить просто, чи не так? Це основи алгебри. [4]

Виконуйте операції з обох сторін рівняння. При вирішенні алгебраїчної задачі потрібно пам'ятати, що якщо виконати будь-яку операцію з одного боку рівняння, ту ж операцію потрібно виконати з іншого боку рівняння. Тобто якщо з одного боку рівняння щось додати або відняти або на щось помножити або розділити, ту ж операцію необхідно виконати з іншого боку рівняння.

• Наприклад: обчисліть х + 3 = 2х -1.
• Відніміть «х» з обох сторін: х - х + 3 = 2х - х - 1.
• Спростіть: 3 = х - 1.
• Додайте 1 до обох сторін: 3 + 1 = х - 1 + 1.
• Спростіть: х = 4.

Обособьте змінну на одній стороні рівняння. У багатьох алгебраїчних виразах присутні постійні та змінні. Постійна - це число, а змінна - це буква, яка представляє собою невідоме значення. [5]

• Щоб відокремити змінну, по обидва боки рівняння виконайте певні дії: відніміть або додайте деяке число, а якщо при змінної знаходиться коефіцієнт, розділіть на нього обидві сторони рівняння.
• Наприклад: 6y + 6 = 48
• Відніміть 6 з обох сторін: 6y + 6 - 6 = 48 - 6
• Спростіть: 6y = 42
• Розділіть обидві частини на 6: 6y / 6 = 42/6
• Спростіть: у = 7

Вийміть корінь, щоб позбутися від показника ступеня (і навпаки). Якщо змінна зводиться в квадрат, потрібно витягти квадратний корінь, щоб вирішити задачу. Якщо змінна стоїть під знаком квадратного кореня, потрібно звести в квадрат, щоб вирішити задачу. [6]

• Приклад 1: √x = 9
• Зведіть в квадрат обидві сторони рівняння: √x 2 = 9 2
• х = 81
• Приклад 2: x 2 = 16
• Вийміть квадратний корінь з обох сторін рівняння: √x 2 = √16
• х = 4

Наведіть подібні члени. Якщо в задачі присутні подібні (з однією змінною) члени, можна привести їх, щоб спростити завдання. Це полегшить вирішення завдання. Пам'ятайте, що члени, показники ступенів яких різні, не є подібними. Наприклад, член «х» не подібний члену x 2. [7]

• Подібні члени: 4x, -3x, 0,45x, -132x
• Члени, які не є подібними: 5x, 8y 2. -13y, 9z, 12xy
• Наприклад, вираз 4x + 3y - 7x містить два подібних члена: 4x і -7x. Наведіть їх, щоб отримати спрощене вираз: -3x + 3y.

Попрактикуйтесь в рішенні більш складних завдань. Практика - це основа оволодіння будь-яким навиком. У міру вирішення завдань беріться за більш складні вирази, щоб по-справжньому освоїти процес. Вирішуйте завдання з підручника або знайдіть їх в інтернеті.

• Приклад 1: q + 18 = 9q - 6
• Додайте 6 до обох сторін: q + 18 + 6 = 9q - 6 + 6
• Спростіть: q + 24 = 9q
• Відніміть q з обох сторін: q - q + 24 = 9q - q
• Спростіть: 24 = 8q
• Розділіть обидві сторони на 8: 8q / 8 = 24/8
• Рішення: q = 3

Перевірте відповідь. Заведіть звичку перевіряти остаточні відповіді. Після того як знайдете рішення, тобто обчисліть значення змінної, перевірте відповідь; для цього підставте його в початкове рівняння. Якщо рівність дотримується, рішення правильне.

• Приклад: q = 3 в рівнянні q + 18 = 9q - 6
• 3 + 18 = (9 х 3) - 6
• 21 = (27) - 6
• 21 = 21
• Рівність дотримується, тому відповідь q = 3 вірний.

Частина 3 з 4: Перемноження двох биномом Правити

Усвідомте порядок перемноження членів биномом. Цей метод застосовується при перемножуванні двох биномом. Біном - це вираз, яке включає два члена, а твір двох биномом має вигляд: (3x + 5) (2х - 4). Порядок перемноження членів: перші члени, перший і другий члени, другий і перший члени, другі члени. [8]

• Перші члени - це члени, які в кожній парі дужок стоять першими. У нашому прикладі це 3x і 2x.
• Перший і другий члени - це перший член в першій парі дужок і другий член в другій парі дужок. У нашому прикладі це 3x і -4.
• Другий і перший члени - це другий член в першій парі дужок і перший член в другій парі дужок. У нашому прикладі це 5 і 2х.
• Другі члени - це члени, які в кожній парі дужок стоять другими. У нашому прикладі це 5 і -4.
• Спростіть отриманий вираз, а потім пишіть остаточну відповідь.

Перемножте перші члени. Визначте перші члени кожного бинома. Перший член - це перший доданок в парі дужок. У нашому прикладі (3x + 5) (2х - 4) першими членами є 3x і 2x. Перемножте ці члени. [9]

• Наприклад: (3x + 5) (2x - 4)
• Перші члени: 3x і 2x
• Множення: 3x * 2х = 6x 2

Перемножте перший і другий члени. Визначте перший і другий члени. Тут перший член - це перший член в першій парі дужок, а другий член - це другий член в другій парі дужок. У нашому прикладі (3x + 5) (2x - 4) першим і другим членами є 3x і -4. Перемножте ці члени. [10]

• Наприклад: (3x + 5) (2x - 4)
• Перший і другий члени: 3x і -4
• Множення: 3x * (-4) = -12x

Перемножте другий і перший члени. Визначте другий і перший члени. Тут другий член - це другий член в першій парі дужок, а перший член - це перший член в другій парі дужок. У нашому прикладі (3x + 5) (2x - 4) другим і першим членами є 5 і 2х. Перемножте ці члени. [11]

• Наприклад: (3x + 5) (2x - 4)
• Другий і перший члени: 5 і 2x
• Множення: 5 * 2x = 10x

Перемножте другі члени. Визначте другі члени кожного бинома. Другий член - це другий доданок в парі дужок. У нашому прикладі (3x + 5) (2х - 4) другими членами є 5 і -4. Перемножте ці члени. [12]

• Наприклад: (3x + 5) (2x - 4)
• Другі члени: 5 і -4
• Множення: 5 * (-4) = -20

Складіть знайдені значення і спростите отриманий вираз. Перемноживши відповідні члени, складіть їх (з урахуванням знака кожного члена), а потім приведіть подібні члени, щоб спростити вираз. [13]

• Наприклад: (3x + 5) (2x - 4)
• Запишіть вираз: 6x 2 - 12x + 10x - 20
• Наведіть подібні члени: 6x 2 - 2x - 20

Частина 4 з 4: Робота зі ступенями Правити

Спростіть постійну з показником ступеня. Якщо число зводиться в певний рівень, помножте це число на себе кількість разів, що дорівнює показнику степеня. Так спрощується член, який є постійною з показником ступеня. [14]

• Наприклад: 4 3 = 4 * 4 * 4 = 64.
• Якщо перед числом стоїть знак «мінус», а саме число не укладено в дужки, зведіть число в ступінь, а потім до отриманого результату припишіть знак «мінус»: -2 2 = - (2 * 2) = -4. [15]
• Якщо перед числом стоїть знак «мінус», а число і знак укладені в дужки, знак «мінус» є частиною підстави ступеня: (-2) 2 = -2 * -2 = 4. [16]

Наведіть подібні члени з однаковими показниками ступеня. Спочатку досить складно знайти змінну з показником ступеня. Просто запам'ятайте: члени з однієї і тієї ж змінної і з одним і тим же показником ступеня можна додавати і віднімати. Якщо змінні однакові, а показники різні, такі члени додавати і віднімати можна.

• Приклад 1: 6x 2 + 5x 2 = 11x 2
• Приклад 2: 4xy 3 - 8xy 3 = -4xy 3
• Приклад 3: 5z + 5z 2; тут немає подібних членів.

Складіть показники ступеня однакових змінних, коли примножуєте їх. Якщо однакові змінні перемножуються, і кожна змінна має показник ступеня, складіть показники ступеня, щоб отримати кінцевий показник ступеня. Це відноситься тільки до однакових змінним. [17]

• Приклад 1: x 2 x 3 = x 2 + 3 = x 5
• Приклад 2: (a 3 b 5 c 2) (ab 2) = a 3 + 1 b 5 + 2 c 2 = a 4 b 7 c 2

Відніміть показники ступеня однакових змінних, коли ділите їх. Якщо показник ступеня негативний, це означає, що потрібно виконати операцію ділення: x 1 = 1 / x. Якщо потрібно розділити однакові змінні, і кожна змінна має показник ступеня, відніміть показник ступеня змінної, яка знаходиться в знаменнику (знизу), з показника ступеня змінної, яка знаходиться в чисельнику (зверху). [18]

• Приклад 1: a 6 / a 3 = a 6-3 = a 3
• Приклад 2: (x 4 y 2) / (x 6 y 2) = x 4-6 y 2-2 = x -2 = 1 / x 2