Інтегрування підведенням під знак диференціала

Підведення під знак диференціала вирішує виникає при інтегруванні проблему, яка полягає в тому, що в подинтегрального вираженні знаходиться складна функція. наприклад,,, і т. п. а під знаком диференціала d - просто ікс. Тобто немає можливості відразу застосувати таблицю інтегралів для знаходження такого інтеграла.

Мета підведення під знак диференціала - отримати просту функцію, яку можна інтегрувати безпосередньо, тобто по таблиці інтегралів. Тоді шляхом перетворень подинтегрального вираження отримаємо просту функцію змінної і ця змінна буде знаходиться і під знаком диференціала d.

Рішення полягає в тому, що аргументом підінтегральної функції стає проміжний аргумент ( "внутрішня" функція вихідної складної функції, наприклад,,, і т. П.), Який можна позначити буквою u. і той же проміжний аргумент u підводиться під знак диференціала d.

Після того, як такий інтеграл буде знайдений, на місце букви u повертається позначається нею проміжний аргумент, і таким чином буде остаточно знайдений інтеграл вихідної складної функції.

Формальна загальна запис описаних перетворень виглядає так:

де - "зовнішня" функція, а - "внутрішня" функція або проміжний аргумент.

У прикладах замість букви u будемо використовувати букву t. так наші рішення будуть близькі до наочно зрозумілому методу заміни змінної. До речі, в деяких джерелах метод підведення під знак диференціала вважається окремим випадком методу заміни змінної.

Приклад 1. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Внесемо під знак диференціала внутрішню функцію. Це майже те ж саме, що знайти її похідну. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз, але в ньому немає множника-трійки перед диференціалом. Значить, перед знаком інтеграла ставимо 1/3 і отримуємо:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 7:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.

Приклад 2. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Відразу ж бачимо, що диференціал синуса від ікси дорівнює косинусу від ікси, а це якраз те, що нам потрібно. Внесемо під знак диференціала синус від ікси. отримуємо

Отримане переносимо в підінтегральний вираз:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 7:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.

Приклад 3. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Внесемо під знак диференціала внутрішню функцію. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз, але в ньому немає множника-двійки перед диференціалом. Значить, перед знаком інтеграла ставимо 1/2 і отримуємо:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 7:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.

Приклад 4. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Внесемо під знак диференціала внутрішню функцію - мінус ікс в квадраті. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз, але в ньому немає множника-мінус двох перед диференціалом. Значить, перед знаком інтеграла ставимо -1/2 і отримуємо:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 11:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.

Приклад 5. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Внесемо під знак диференціала внутрішню функцію - логарифм ікси. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 12:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.

Приклад 6. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Внесемо під знак диференціала внутрішню функцію - ту, що в знаменнику. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз, але в ньому немає множника-мінус трьох перед диференціалом. Значить, перед знаком інтеграла ставимо -1/3 і отримуємо:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 10:

Приклад 7. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Помічаємо, що заміна змінної в знаменнику вигідно обертається отриманням табличного інтеграла 21 (з арктангенсом). Але в знаменнику у нас ікс не в квадраті, а в шостого ступеня. Представляємо ікс в шостого ступеня як, а інтеграл перетвориться к. Саме ікс в кубі з другого доданка в знаменнику являє собою внутрішню функцію, яку внесемо під знак диференціала. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз. У ньому немає множника-трійки перед диференціалом. Значить, перед знаком інтеграла ставимо 1/3 і отримуємо:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 21:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.

Приклад 8. Знайти підведенням під знак диференціала інтеграл:

Рішення. Дивимося в чисельник. Там косинус від трьох ікс. Дивимося в знаменник. Там присутня синус також від трьох ікс. Значить, все вираз в знаменнику можемо як внутрішню функцію внести під знак диференціала. отримуємо

Отримане потрібно перенести в підінтегральний вираз. У ньому немає множника-мінус дев'яти перед диференціалом. Значить, перед знаком інтеграла ставимо -1/9 і отримуємо:

Далі для отримання простої функції позначаємо і і остаточно вирішуємо як табличний інтеграл 10:

Перевірити рішення задач на невизначений інтеграл можна на калькуляторі невизначених інтегралів онлайн.