Градієнт, властивості градієнта
Нехай дана функція. U = f (x, y, z) визначена і диференційована в деякій області Д.
Градієнтом функції зв вектор проекції якого на осі координат дорівнюють відповідним приватним похідним.
Своіства градієнта: 1. Похідна в напрямі має МАХ значення в напрямку збігається з градієнтом.
1. Похідна в напрямі ⊥ градієнту дорівнює 0.
2. Градієнт ⊥ лініях рівня.
3. Док-во: U = u (x, y) тоді gradU = UX1i + UX1j тоді кутовий коеф прямий совпад з градієнтом буде дорівнює. К1 = tg # 945; = (UY1 / UX1)
4. Лінією рівня зв лінія на к-ой функція приймає постійне значення u (x, y) = с. Геометричний сенс градієнта полягає в тому що градієнт вказує напрямок найбільшого зміни фун.
Векторне поле, визначення, векторні лінії, труба
Векторне поле. Якщо кожній точці простору ставиться у відповідність вектор. то кажуть, що задано векторне поле (поле швидкостей частинок рідини, що рухається, силове поле, поле електричної напруженості). У декартовій системі координат векторне поле можна записати у вигляді:. Скалярні функції однозначно визначають векторне поле. Векторне поле може бути плоским, якщо. сферичним, коли. . циліндровим, коли. .
ПРИКЛАД 1. Дослідження плоского векторного поля.
Векторні лінії (лінії струму). Для наочного уявлення векторних полів використовують векторні лінії (лінії струму). Це криві, в кожній точці яких вектор є дотичним вектором. Через кожну точку проходить одна лінія струму. За винятком точок, де поле не визначене або. лінії струму ніколи не перетинаються. В декартових координатах диференціальні рівняння ліній струму мають вигляд:
Нехай - векторне поле, S - якась майданчик на цьому полі. Проведемо через кордон цього майданчика векторні лінії. Утворена при цьому фігура називається векторною трубкою (при цьому векторні лінії, що проходять через S. цілком лежать всередині векторної трубки).
Потік векторного поля, його фізичний зміст
Поняття потоку векторного поля зручно розглядати на прикладі потоку рідини, що рухається через деяку поверхню. Обсяг рідини, що протікає в одиницю часу через поверхню, розташовану в рідині, що рухається, назвемо потоком рідини через цю поверхню.
Нехай поверхня S розташована в поле швидкостей частинок нестисливої рідини з щільністю # 961; = 1. Можна показати, що потік векторного поля в цьому випадку дорівнює
де - одиничний нормальний вектор до поверхні S. розташований по одну сторону з вектором. а величина.
Незалежно від фізичного сенсу вектора інтеграл (3.34) по поверхні називають потоком векторного поля через поверхню S.
Нехай і тоді потік П вектора через поверхню S можна записати у вигляді:
Або враховуючи зв'язок поверхневих інтегралів першого та другого родів, можна записати потік П через поверхневий інтеграл в координатах: