Геометричні застосування визначеного інтеграла

Площа плоскої фігури

Вже зазначалося вираз площі криволінійної трапеції через певний інтеграл. Звідси випливає формула для обчислення площі фігури, обмеженої зверху і знизу графіками функцій і. а з боків прямими і:

У разі якщо криволинейная трапеція обмежена зверху лінією, заданою параметричними рівняннями :,,. площа фігури обчислюють таким чином

де розстановка меж здійснюється у відповідності зі значеннями:,.

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженою еліпсом:.

Розглянемо половину фігури, що лежить у верхній півплощині. Зліва направо граничними значеннями координати служать числа й. відповідно до них визначаємо межі інтегрування по параметру з співвідношень: і. За формулою знаходимо

звідки для площі, що лежить всередині еліпса отримуємо формулу.

Як вправа рекомендується вивести формулу для обчислення площі фігури, заданої в полярний координатах. межами якої служать промені. і крива

Довжина дуги кривої

Нехай дуга кривої представляє собою графік функції, неперервної на відрізку. Довжину дуги такої кривої визначимо як межа, до якого прагне довжина вписаною ламаною лінії (див. Рис. 2) при і.

Таке визначення довжини дуги кривої відповідає інтуїтивним уявленням і лежить в основі логічно суворого поняття довжини.

При завданні кривої параметричними рівняннями:,, з рівності (12) виходить формула

Завдання дуги кривої рівнянням в полярних координатах:. є окремим випадком параметричного завдання:. Після підстановки даних функцій отримаємо формулу для довжини дуги кривої, заданої в полярних координатах

Приклад. Обчислити довжину дуги першої арки циклоїди (траєкторії точки обода колеса), показаної на рис. 3.

Циклоїда має параметричні рівняння:. Параметром служить кут повороту колеса, який для першої арки приймає значення. Згідно (13) довжина дуги циклоїди виражається інтегралом

Обсяг і площа поверхні тіла обертання

Поставимо задачу визначення обсягу і площі поверхні тіла, отриманого обертанням дуги кривої навколо осі.

Обсяг визначаємо як граничне значення обсягу складеного циліндричного тіла, показаного на рис. 4. Поверхня тіла обертання виходить в межі площі складовою поверхні з вписаних конічних поверхонь (див. Рис. 5).

У підсумку приходимо до формул для обчислення обсягу і площа поверхні:

Зверніть увагу, що використання складеного циліндричного тіла не дає правильного значення площі поверхні.