Фігура піраміда - презентація з геометрії

Історія розвитку геометрії піраміди Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті і Вавилоні, проте активний розвиток отримало в Стародавній Греції. Перший, хто встановив, чому дорівнює об'єм піраміди був Демокріт [2], а довів Евдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід, систематизував знання про піраміду в XII томі своїх «Почав», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які від одній площині сходяться в одній точці.

Елементи піраміди апофема - висота бічної грані правильної піраміди [3]; бічні грані - трикутники, що сходяться у вершині піраміди; бічні ребра - загальні сторони бічних граней; вершина піраміди - точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить в площині основи; висота - відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди і є підстави перпендикуляра); діагональне перетин піраміди - перетин піраміди, що проходить через вершину і діагональ підстави; підстава - багатокутник, якому не належить вершина піраміди

Властивості піраміди Все діагоналі піраміди належать її гранях. Якщо всі бічні ребра рівні, то: близько основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр; бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути. Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то: в основу піраміди можна вписати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр; висоти бічних граней рівні; площа бічної поверхні дорівнює половині твори периметра підстави на висоту бічній грані

Розгортка піраміди розгортки багатогранної поверхні називається плоска фігура, що отримується послідовним поєднанням всіх граней поверхні з площиною. Так як всі грані багатогранної поверхні зображуються на розгортці в натуральну величину, побудова її зводиться до визначення величини окремих граней поверхні - плоских багатокутників. Існує три способи побудови розгортки багатогранних поверхонь: Спосіб нормального перетину; Спосіб розкочування; Спосіб трикутника. При побудові розгортки піраміда застосовується спосіб трикутника. Розгортка бічної поверхні піраміди являє собою плоску фігуру, що складається з трикутників - граней піраміди і багатокутника - підстави. Тому побудова розгортки піраміди зводиться до визначення натуральної величини підстави і граней піраміди. Грані піраміди можна побудувати за трьома сторонам трикутників, їх утворюють. Для цього необхідно знати натуральну величину ребер і сторін підстави. Визначення дійсної величини підстави і ребер піраміди

Алгоритм побудови Визначають натуральну величину підстави піраміди (наприклад методом заміни площин проекцій); Визначають справжню величину всіх ребер піраміди будь-яким з відомих способів (в даному прикладі натуральна величина всіх ребер піраміди визначена методом обертання навколо осі перпендикулярної горизонтальній площині проекцій і проходить через вершину піраміди S); Будують підставу піраміди і по знайденим трьом сторонам будують якусь із бічних граней, пристроюючи до неї такі. Точки, розташовані всередині контуру розгортки, знаходять у взаємно однозначним дотриманням точками поверхні багатогранника. Але кожній точці тих ребер, за якими багатогранник розрізаний, на розгортці відповідають дві точки, що належать контуру развёрт

Сфера близько піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить вписаний багатокутник (необхідна і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. Як наслідок з цієї теореми випливає, що як близько будь-трикутної, так і поблизу кожної правильної піраміди можна описати сферу; в піраміду можна вписати сферу тоді, коли биссекторной площині внутрішніх двогранні кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна і достатня умова). Ця точка буде центром сфери.

Конус Конус називається вписаним в піраміду, якщо вершини їх збігаються, а його основу вписано в основу піраміди. Причому вписати конус в піраміду можна тільки тоді, коли апофеми піраміди рівні між собою (необхідна і достатня умова); Конус називається описаним близько піраміди, коли їх вершини збігаються, а його підставу описано близько підстави піраміди. Причому описати конус близько піраміди можна тільки тоді, коли всі бічні ребра піраміди рівні між собою (необхідна і достатня умова); Висоти у таких конусів і пірамід рівні між собою.

Циліндр Циліндр називається вписаним в піраміду, якщо вершина піраміди належить його однією підставою, а інше його підставу збігається з колом вписаною в перетин піраміди площиною, паралельної підставі. Причому вписати циліндр в піраміду можна тільки тоді, коли в основі піраміди - описаний багатокутник (необхідна і достатня умова); Циліндр називається описаним близько піраміди, якщо вершина піраміди належить його однією підставою, а інше його підставу описано близько підстави циліндра. Причому описати циліндр близько піраміди можна тільки тоді, коли в основі піраміди - вписаний багатокутник (необхідна і достатня умова).

Формули, пов'язані з пірамідою Обсяг піраміди може бути обчислений за формулою: де S - площа підстави і h - висота; Бічна поверхня - це сума площ бічних граней: Повна поверхня - це сума бічній поверхні і площі підстави: Sp = Sb + So Для знаходження бічній поверхні в правильній піраміді можна використовувати формули: де a - апофема бічній грані, P - периметр підстави, n - число сторін підстави, b - бічне ребро, α - плоский кут при вершині піраміди

Особливі випадки піраміди Правильна піраміда Піраміда називається правильною, якщо підставою її є правильний багатокутник, а вершина проектується в центр підстави. Тоді вона володіє такими властивостями: бічні ребра правильної піраміди рівні; в правильній піраміді всі бічні грані - рівні трикутник; в будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу; якщо центри вписаною і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π, а кожен з них відповідно. де n - кількість сторін багатокутника підстави [6]; площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твори периметра підстави на апофему.

Прямокутна піраміда Піраміда називається прямокутної, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярно основи. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Невелика піраміда усічена пірамідою називається багатогранник, укладений між пірамідою і січною площиною, паралельної її основи.

Пов'язані визначення тетраедрами називається трикутна піраміда. У тетраедра будь-яка з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існують велика різниця в поняттях правильна трикутна піраміда і правильний тетраедр.

Цікаві факти Цікаві факти Формула для розрахунку об'єму усіченої піраміди була виведена раніше ніж для повної.