Еталонні ряди- це ряд, збіжність якого нам відома

Узагальнений гармонічний ряд

Зокрема, при к = 1 отримуємо гармонійний ряд

2. Ознаки порівняння знакоположітельних рядів. Ознаки Даламбера і Коші. Граничний ознака порівняння рядів. Інтегральний ознака збіжності рядів.

Ознаки порівняння знакоположітельних рядів.

- знакоположітельние ряди.

Загальна ознака порівняння (ОПС). Нехай. В цьому випадку:

1. ряд Q сходиться ряд Р сходиться.

2. ряд Р розходиться ряд Q розходиться.

Зауваження. Нерівність можна замінити на

Граничний ознака порівняння. Нехай існує В цьому випадку:

1) З ≠ 0. ряди P і Q сходяться або розходяться одночасно.

2) С = 0. з збіжності Q слід збіжність Р. а з розбіжність Р слід расходимость Q.

(2): і знову ОПС>

Граничний ознака Коші. Нехай існує.

якщо s <1 – ряд Р сходится, если s> 1 - розходиться. (При s = 1 питання про збіжність відкритий).

сходиться. 2. s> 1; ряд Р розходиться по необхідному ознакою>

Зауваження. При використанні ознаки Коші, корисно пам'ятати:

Граничний ознака Даламбера. нехай існує

якщо s <1 – ряд Р сходится, если s> 1 - розходиться. (При s = 1 питання про збіжність відкритий)

Інтегральний ознака Коші.

Нехай функція f (x) ≥ 0 не збільшується при х ≥ 1. У цьому випадку і

сходяться або розходяться одночасно.

Проинтегрируем ці нерівності від (k - 1) до k і підсумуємо по k від 2-х до n:

Якщо інтеграл сходиться, то часткові суми обмежені (ліве

нерівність) і ряд сходиться. Якщо інтеграл розходиться (до нескінченності!), То часткові суми необмежені (праве нерівність) і ряд розходиться. У зворотний бік доказ

3. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна і умовна збіжність рядів.

Ряд називається Знакозмінні. якщо його члени по черзі беруть значення протилежних знаків, т. е.

Ознака Лейбніца - ознака збіжності Знакозмінні ряду, встановлений Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми:

Нехай для Знакозмінні ряду

виконуються наступні умови:

1. (монотонне спадання n>)

Тоді цей ряд сходиться.

Ряд А називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд

Якщо ряд сходиться абсолютно, то він сходиться.

Зауваження. Звідси випливає, що для абсолютно збіжних рядів відпадає необхідність в

окремому дослідженні на звичайну або умовну збіжність.

Позначимо через pk і qk позитивні і модулі негативних членів ряду А відповідно.

Ряд А називається умовно збіжним, якщо він сходиться, а ряд A * розходиться. Якщо А сходиться абсолютно, то ряди P і Q сходяться. Якщо А сходиться умовно, то

ряди P і Q розходяться (до нескінченності).

. що суперечить умові; нехай тепер Р розходиться, а Q сходиться. An + Qs = Pm і що суперечить припущенню>

4. Функціональні ряди. Статечні ряди. Ознака рівномірної збіжності функціонального ряду.

Функціональний ряд - ряд, кожним членом якого, на відміну від числового ряду, є не число, а функція.

Ряд називається статечним поруч. Тут н азивают коефіцієнтами ряду. Будь степеневий ряд сходиться в т. Х = 0 і S (0) = a0.

Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на безлічі D. якщо

1. Рівномірне збіжність розглядається тільки на множині.

2. Найменше значення Nmin, при якому виконується заключне нерівність, для

кожного своє, але, на відміну від звичайної збіжності на D. існує найбільше значення з усіх найменших N.. яке і фігурує у визначенні.

5. Область збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля. Формула для знаходження радіуса збіжності і її різновиди. Властивості статечних рядів

Будь степеневий ряд сходиться в т. Х = 0 і S (0) = a0.

Ряд - статечної ряд з центром в т. Х0.

Теорема Абеля. Нехай ряд сходиться в т. Тоді він абсолютно сходиться в усіх точках х. б відповідала умовам

Нехай Ряд сходиться як нескінченно спадна геометрична прогресія. Отже, ряд сходиться (за ознакою порівняння)

Ознака збіжності Коші

якщо s <1 – ряд Р сходится, если s> 1 - розходиться. (При s = 1 питання про збіжність відкритий)

Формула Тейлора використовується при доказі великого числа теорем в диференціальному обчисленні. Говорячи нестрого, формула Тейлора показує поведінку функції в околицях

· Нехай функція має похідну в деякій околиці точки.

· Нехай - довільна позитивне число,

тоді: точка при або при:

Біноміальний РЯД - статечної ряд виду

де n - ціле, а # 945; - довільне фіксоване число (взагалі кажучи, комплексне), z = x + iy - комплексне змінне, ( # 945; n) - біноміальні коефіцієнти. для цілих # 945; = M ≥ 0 Б. р. зводиться до кінцевої сумі m + 1 доданків

званої Ньютона біном.

8. Розкладання функцій в ряд Маклорена. Розкладання функції.

Розкладання функції f (x) в ряд Тейлора при x0 = 0називается розкладанням цієї функції в ряд Маклорена.

Рівняння кривої, якій описується форма гнучкої нерастяжимой нитки, закріпленої кінцями в двох даних точках, 1) під дією власної ваги; 2) під дією рівномірно розподіленого навантаження.

Ланцюговий лінією називається плоска крива, форма якої відповідає однорідної гнучкою нерастяжимой важкої нитки, закріпленої в обох кінцях і провисає під дією сили тяжіння.

Отже, ланцюгова лінія описується гіперболічним косинусом. Її форма однозначно визначається параметром

2) форма ланцюгової лінії рівного опору визначається функцією

де b позначає

Нехай в площині дана обмежена замкнутим контуром правильна область. причому її проекцією на вісь є відрізок. знизу область обмежена кривою. а зверху - кривий (в сукупності ці криві становлять замкнутий контур).
Нехай також в області задані неперервні функції і. мають безперервні приватні похідні.
Тоді, якщо обхід контуру відбувається проти годинникової стрілки, справедлива наступна формула:
.

25. Криволінійні інтеграли першого і другого роду.

2. Адитивність: якщо в одній точці, то

3. Монотонність: якщо на. то

4. Теорема про повну загальну середню для безперервної уздовж функції:

5. Зміна напрямку обходу кривої інтегрування не впливає на знак інтеграла:.

6. Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від параметризації кривої.

Нехай - гладка, спрямляются крива, задана параметрично (як у визначенні). Нехай функція визначена і інтегрована уздовж кривої в сенсі криволінійного інтеграла першого роду. тоді

Тут точкою позначена похідна по. .

Зауваження. Для криволінійних інтегралів другого роду несправедливі властивість монотонності, оцінка модуля і теорема про повну загальну середню.

Нехай - гладка, спрямляются крива, задана параметрично (як у визначенні). Нехай функція визначена і інтегрована уздовж кривої в сенсі криволінійного інтеграла другого роду. тоді

Якщо позначити за одиничний вектор дотичної до кривої. то неважко показати, що

Нехай на які орієнтуються різноманітті розмірності задані ориентируемое -мірним підмноговидів та диференціальна форма ступеня класу (). Тоді, якщо межа підмноговидів позитивно орієнтована, то

де позначає зовнішній диференціал форми.

Теорема поширюється на лінійні комбінації підмноговидів однієї розмірності, так звані ланцюги. У цьому випадку формула Стокса реалізує подвійність междукогомологіей де Рама і гомологією циклів різноманіття.

- слід такого тензора похідних. Вона не залежить від системи координат (є інваріантом перетворень координат, скаляром), а в прямокутних декартових координатах обчислюється за формулою:

Це ж вираз можна записати з використанням символічного оператора Набла

Теорема Остроградського-Гаусса дозволяє обчислити потік векторного поля за допомогою об'ємного інтеграла від дивергенції поля.

- векторна характеристика вихровий складової векторного поля. Це вектор з координатами:

Для зручності запам'ятовування можна умовно представляти ротор як векторний добуток:

Еталонні ряди- це ряд, збіжність якого нам відома

Узагальнений гармонічний ряд

Зокрема, при к = 1 отримуємо гармонійний ряд

Ознаки порівняння знакоположітельних рядів.

- знакоположітельние ряди.

Загальна ознака порівняння (ОПС). Нехай. В цьому випадку:

1. ряд Q сходиться ряд Р сходиться.

2. ряд Р розходиться ряд Q розходиться.

Зауваження. Нерівність можна замінити на

Граничний ознака порівняння. Нехай існує В цьому випадку:

1) З ≠ 0. ряди P і Q сходяться або розходяться одночасно.

2) С = 0. з збіжності Q слід збіжність Р. а з розбіжність Р слід расходимость Q.

(2): і знову ОПС>

Граничний ознака Коші. Нехай існує.

якщо s <1 – ряд Р сходится, если s> 1 - розходиться. (При s = 1 питання про збіжність відкритий).

сходиться. 2. s> 1; ряд Р розходиться по необхідному ознакою>

Зауваження. При використанні ознаки Коші, корисно пам'ятати:

Граничний ознака Даламбера. нехай існує

якщо s <1 – ряд Р сходится, если s> 1 - розходиться. (При s = 1 питання про збіжність відкритий)

Інтегральний ознака Коші.

Нехай функція f (x) ≥ 0 не збільшується при х ≥ 1. У цьому випадку і

сходяться або розходяться одночасно.

Проинтегрируем ці нерівності від (k - 1) до k і підсумуємо по k від 2-х до n:

Якщо інтеграл сходиться, то часткові суми обмежені (ліве

3. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна і умовна збіжність рядів.

Ряд називається Знакозмінні. якщо його члени по черзі беруть значення протилежних знаків, т. е.

Нехай для Знакозмінні ряду

виконуються наступні умови:

1. (монотонне спадання n>)

Тоді цей ряд сходиться.

Ряд А називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд

Якщо ряд сходиться абсолютно, то він сходиться.

Зауваження. Звідси випливає, що для абсолютно збіжних рядів відпадає необхідність в

окремому дослідженні на звичайну або умовну збіжність.

Позначимо через pk і qk позитивні і модулі негативних членів ряду А відповідно.

ряди P і Q розходяться (до нескінченності).

. що суперечить умові; нехай тепер Р розходиться, а Q сходиться. An + Qs = Pm і що суперечить припущенню>

4. Функциональные ряды. Статечні ряди. Признак равномерной сходимости функционального ряда.

Ряд називається статечним поруч. Здесь н азывают коэффициентами ряда. Будь степеневий ряд сходиться в т. Х = 0 і S (0) = a0.

Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на безлічі D. якщо

1. Рівномірне збіжність розглядається тільки на множині.

Будь степеневий ряд сходиться в т. Х = 0 і S (0) = a0.

Ряд - статечної ряд з центром в т. Х0.

Теорема Абеля. Нехай ряд сходиться в т. Тоді він абсолютно сходиться в усіх точках х. б відповідала умовам

Нехай Ряд сходиться як нескінченно спадна геометрична прогресія. Отже, ряд сходиться (за ознакою порівняння)