Докази властивостей модуля

Проведемо докази, розглядаючи різні випадки значень a і b.

Якщо a і b - позитивні числа, то їх модулі збігаються з їх значеннями: | a | = A, | b | = B. З цього випливає, що | a + b | = | A | + | B | .

Якщо a - негативне число, а b - позитивне число, то вираз | a + b | можна записати як | b - a |. Вираз же | a | + | B | дорівнює сумі абсолютних значень a і b. що більше, ніж b - a. Тому | a + b | <|a| + |b| .

Якщо b - негативне число, а a - позитивне, то | a + b | приймає вид | a - b |. що також менше суми модулів | a | + | B | .

Якщо a і b - негативні числа, то отримаємо | -a - b |. Результат цього виразу дорівнює | a + b | (Т. К. | -a - b | = | - (a + b) | = | a + b |). Але вже було доведено, що | a + b | = | A | + | B |. отже і | -a - b | = | A | + | B | .

Доказ 2) | ab | = | A | × | b |:
Тут, на відміну від складання, розглядати всі випадки особливо не потрібно, т. К. Абсолютне значення твори будь-яких чисел (позитивних чи, негативних чи) не залежить від знаків множників. У вираженні | ab | ми спочатку перемножуємо числа, а потім «відкидаємо» знак (негативний, якщо він є), в вираженні | a | × | b | спочатку позбавляємося від знаків, а потім перемножуємо. Але від того, в який момент був узятий модуль (до або після множення), не залежить абсолютне значення твору.

Доказ 3), a ≠ 0:

Якщо a - позитивне число, то | a | = A і, отже, що доводиться рівність вірно, т. К. І права і ліва частини рівні 1 / a.

Якщо a - негативне число, то маємо. Взяття модуля в обох висловах призведе до поділу одиниці на абсолютне значення a. Значить ці вирази дорівнюють один одному.

Якщо a і b - позитивні числа, то їх модулі збігаються з самими числами. Тому | a - b | = | A | - | b |. тому що можна не брати модулі взагалі і тоді з двох сторін отримаємо a - b.

Якщо a - позитивне число, а b - негативне, то вираз | a - b | набуде вигляду | a + b |. що більше, ніж | a | - | b |.

Якщо a - негативне число, а b - позитивне, то маємо | -a - b | = | - (a + b) | = | A + b |. що більше, ніж | a | - | b | .