циліндричні поверхні

Лекція 15. Поверхні другого порядку.

У тривимірному просторі рівняння виду визначає деяку поверхню. Так, ми вже знаємо рівняння поверхні першого порядку - площині.

Рівняння алгебри другого і вище порядків визначає в просторі поверхні, які так і називають поверхнями другого і більш високих порядків. Розглянемо поверхні другого порядку і їх найпростіші рівняння.

Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням деякої просторової лінії L (званої що утворює) навколо заданої прямої l (званої віссю обертання), що лежить в одній площині з L (рисунок 1).

Очевидно, при обертанні L кожна точка її описує коло.

Найпростіший випадок поверхні обертання, коли крива L обертається навколо осі координат.

Поверхні, утворені обертанням кривих другого порядку навколо їх осей симетрії, називають поверхнями обертання другого порядку.

Нехай крива L, що лежить в площині у Oz. обертається навколо осі Oz. Рівняння цієї кривою можна записати у вигляді:

Нехай S - поверхня обертання, M (x. Y. Z) - довільна точка цієї поверхні. Проведемо площину a Oz. що проходить через точку M. Нехай O1 точка перетину площини a з Oz. а точка P - з кривою L. Тоді O1 (0,0, z), а P (0, y0. z), де y0 - деяке число.

У перетині поверхні S площиною a виходить коло; точки P і M лежать на цьому колі, причому радіус кола дорівнює | O1 M | = | O1 P |. Маємо | O1 P | = | y0 | (Так як LÎy Oz), значить, з одного боку O1 M | = | y0 |. В той же час

Отже, | y0 | =. або у0 = ±. А так як PÎL, то її координати задовольняють рівнянням кривої:. звідси F (y0, z) = 0. Представивши сюди y0 = ±. отримаємо

значить координати довільної точки M (x. y. z), що лежить на поверхні обертання задовольняє рівняння F = (±; z) = 0, значить, це рівняння є рівняння поверхні S.

Аналогічно можна вивести рівняння поверхні обертання навколо інших осей.

Звідси ми можемо вивести наступне практичне правило:

Щоб знайти рівняння поверхні обертання кривої L навколо координатної осі, що лежить з L в одній площині, потрібно в рівнянні кривої L змінну, відповідну осі обертання, залишити без зміни. а другу змінну замінити на (±) корінь квадратний з суми квадратів інших змінних.

Наприклад, якщо L: F (x. Y) = 0, LÎx Oy і обертається навколо осі Oy. то рівняння поверхні обертання F = (±; z) = 0. Якщо ця крива обертається навколо осі Ox. то рівняння поверхні запишеться у вигляді F = (x; ±) = 0. Якщо L: F (x. z) = 0 обертається навколо Oz. то поверхня має рівняння F = (±; z) = 0 і т.д.

Наприклад, при обертанні кола (у - a) 2 + z 2 = 1 навколо осі Оy вийде куля, а при обертанні навколо осі OZ - тор (рис.)

Ця поверхня називається двуполостной гіперболоїдом обертання. Якщо деформувати його, отримаємо просто двуполостной гіперболоїд

Відмінні риси: 3 квадрата, 2 мінуса, праворуч 1.

3) Розглянемо параболу 2pz = у 2 і будемо обертати її навколо осі Oz. отримаємо поверхню з рівнянням x 2 + y 2 = 2pz. або -параболоід обертання.

Якщо тепер деформувати цю поверхню вздовж осі Оу. отримаємо поверхню з рівнянням. p. q> 0, яка називається еліптичним параболоїдом

Нехай L - деяка лінія в просторі, а l - пряма, що не лежить з L в одній площині.

Циліндричної поверхнею називається безліч точок простору, що є об'єднанням всіх прямих, паралельних заданій прямій l і проходять через точки кривої L. Лінія L називається направляючою, а прямі, паралельні прямій l - утворюють циліндра.

Розглянемо циліндричні поверхні з твірними, паралельними осям координат, а напрямними, що лежать в координатних площинах.

Нехай L: - крива в просторі (очевидно, вона лежить в площині x Oy), а l = Oz.

Розглянемо циліндричну поверхню. Нехай M (x. Y, z) - довільна точка цієї поверхні. Тоді проекція M1 (x. Y. 0) цієї точки на площину x Oy лежить на направляючої L. Значить, її координати x і y задовольняють рівняння L:

Навпаки, якщо точка N (x1. Y1. Z1) не належить циліндричної поверхні, то F (x1. Y1) ¹ 0 (N ÏL), тобто рівняння F (x. Y) = 0, задовольняють координати точок циліндричної поверхні і тільки вони, отже, F (x. Y) = 0 є рівняння циліндричної поверхні за допомогою ключового і утворює, паралельної Oz.

Аналогічно можна показати, що рівняння F (x, z) = 0 визначає циліндричну поверхню з утворюючої, паралельної Oy і спрямовуючої

Рівняння F (y, z) = 0 визначає циліндричну поверхню за допомогою ключового і утворює, паралельної осі Ox.

Циліндрична поверхня, у якій напрямна є крива 2-го порядку, називається циліндричною поверхнею 2-го порядку.

Наприклад, поверхня (або) називається параболічним циліндром.

Поверхня з рівнянням або - еліптичний циліндр:

Рівняння і визначають гіперболічний циліндр: