Читати онлайн звідки ми знаємо, що таке точка автора Локшин олександр Олександрович - rulit -

1. Парадокс математичної індукціі6

2. Звідки ми знаємо, що таке точка? 7

3. Текстові завдання: який метод віддати перевагу? 9

4. Уявне моделювання при вирішенні текстових задач11

5. Всохлі проценти14

6. Правило твори в комбінаторної задачі про маршрутах16

7. Про один комбинаторном соотношеніі21

8. Чому дорівнює нуль-факторіал? 22

9. Завдання щодо складання букета24

10. Про деякі труднощі у викладанні логікі25

11. Неіснуючі об'єкти і математична логіка27

12. Імплікація і время28

13. Підступний куб31

14. Чому поділ не дистрибутивно зліва? 32

15. Узагальнена діаграма Ейлера33

16. Змій Горинич і транзітівность35

(Особливо, для студентів факультетів початкових класів), школярів-старшокласників та вчителів математики.

Метод математичної індукції є, як відомо, могутнім інструментом, що дозволяє доводити багато математичні твердження, що не піддаються іншим методам. Сіль методу в тому, що він дозволяє, так би мовити, «спертися на недоведене».

У найпростішому випадку дія методу виглядає так. Нехай є деяке твердження A (n), залежне від натурального номера n (n = 1,2, ...). Тоді якщо A (1) істинно і якщо з істинності A (n) слід істинність A (n +1), то A (n) істинно при всіх натуральних n.

Отже, доводячи істинність A (n +1), ми можемо спертися на недоведеною істинність A (n) - чудова можливість, яку не пропонують жодних інших методів. (Як ми побачимо нижче, за цією можливістю ховається досить цікавий парадокс.)

Наведена вище формулювання методу математичної індукції може бути коротко записана, з використанням загальноприйнятих математичних термінів, в наступному вигляді:

Тут формули над рисою - так звані посилки. істинність яких ми повинні попередньо встановити, формула під рискою - висновок. істинність якого забезпечується істинністю посилок; N позначає безліч натуральних чисел.

Парадокс, однак, полягає в тому, що, «застосовуючи математичну індукцію», ми користуємося не шляхом (1), а іншими міркуваннями.

Дійсно, подивимося, як фактично проводиться доказ «по індукції». Спочатку доводиться справедливість A (1), і поки ми, як ніби, діємо в злагоді зі схемою (1). Однак наш наступний крок являє собою розумову операцію, в корені відмінну від другого рядка в схемі (1). Фактично, ми розмірковуємо так:

Без слова «деякий» тут обійтися неможливо, тому що в противному випадку наше припущення звучало б так:

«Припустимо, що A (n) істинно при довільному n», тобто ми припустили б то, що потрібно довести! (Без слова «довільний», очевидно, теж неможливо обійтися.) В результаті замість (1) ми користуємося насправді схемою