Числова послідовність і її межа
Знаходження меж займає важливе місце в курсі вищої математики. Для цього потрібно знати багато правил і прийомів. Про все це піде мова в даному розділі і для початку дамо визначення меж числової послідовності.
яке визначено для кожного натурального числа з однаковим правилом називають числовою послідовністю і позначають, де - члени числової послідовності, - загальний член послідовності.
Число називається межею числової послідовності, якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа знайдеться таке натуральне число, що при всіх виконується нерівність
Якщо є кордоном послідовності то записують
Є кілька типів числових послідовностей, які ви обов'язково повинні знати:
1) Зростаюча послідовність - кожен її член більше попереднього
2) неубутних послідовність - кожен наступний член не менший від попереднього
3) Низхідна послідовність - кожен новий член менше попереднього
4) незростаюча послідовність - кожен старший член не більш попереднього
5) Обмежена послідовність має місце тоді, коли знайдуться такі дійсні числа і, що для всіх натуральних чисел виконується нерівність
6) Послідовність називається необмеженою. якщо вона постійно або зростає або убуває.
7) Послідовність, що має межу називається збіжної. Протилежна до неї послідовність - відповідно розходяться.
Властивості збіжних ПОСЛІДОВНОСТІ
1) Кордон постійної послідовності дорівнює постійної.
2) Якщо послідовність має межу, кордон єдина. Звідси випливає, що така послідовність обмежена.
3) Нехай межа числової послідовності існує
Тоді знайдеться таке число, що для всіх великих за нього значень виконується нерівність
4) Припустимо, що виконується нерівність
Якщо послідовності і сходящейся і їх межі однакові
то послідовність також буде сходящейся, а її межа збігається з межами бічних послідовностей
5) Будь-яка монотонно обмежена послідовність має межу.
Окремим випадком числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії.
Одними з простих завдань є визначення формули загального члена послідовності по відомим першим. Наприклад, виберемо наступні завдання зі збірки завдань Дубовика В.П. Юрика І.І. "Вища математика".
Написати формулу загального члена послідовності.
При визначенні загального члена послідовності слід вловити особливість зміни подальшого його члена до попереднього. Різниця між ними може носити лінійний, показове або інший характер. В даному випадку приклади не важкі, оскільки кожен наступний член описаний в тому вигляді, в якому його визначають, а не у вигляді дробу (у чисельнику і знаменнику одне число). Варто відзначити те, що при виведенні загального члена послідовності прийнято записувати першими змінні. тобто у вигляді
Перейдемо до знаходження шуканих величин
1) По особливості зміни чисельника і знаменника бачимо, що чисельник зростає лінійно, а знаменник згідно показового закону.
Загальний член послідовності буде виглядати
2) В цьому прикладі
і чисельник і знаменник міняються лінійно, зміщуючись від одиниці на певні константи
3) В даному випадку
зміна є нелінійним, але загальний член послідовності вловити можливо.
Для знаходження формули загального члена послідовності досліджуйте поведінку окремо чисельника і знаменника.
Визначте змінюються вони лінійно, нелінійно, по статечним законам і т.д. На основі закономірностей виведіть формулу загального члена послідовності.