Богданов до, де собака зарита, журнал «фізика» № 6 за 2018 рік

То не досточки, то кісточки тріщать.

7. Чому кістка порожниста і міцніше граніту?

Всі ми - плоди еволюції. Природа мільйони років експериментувала, перш ніж зробити нас такими, які ми зараз є. Якби перед інженером-механіком поставили завдання сконструювати кістка людини, то він би напевно відразу ж запитав, для чого вона потрібна, тому що форма, розміри і внутрішня структура кістки повинні визначатися її функцією в скелеті. Як же працюють наші кістки? Як і будь-які будівельні елементи, кістки скелета працюють в основному на стиск, розтяг або вигин. Ці режими роботи пред'являють до кісток як елементам скелета далеко не однакові вимоги.

Кожному ясно, що сірник або соломинку досить важко розірвати, розтягуючи їх уздовж осі, і дуже легко зламати, зігнувши. В інженерних конструкціях, як і в скелетах тварин, бажано поєднання міцності з легкістю. Як домогтися максимальної міцності конструкції при заданій масі і відомої міцності матеріалу? Це завдання досить проста, якщо елемент конструкції повинен працювати або на поздовжнє розтягання, або тільки на стиск. Нехай, наприклад, треба підвісити деякий вантаж на тросі певної довжини. Міцність троса буде дорівнює міцності його самого тонкого ділянки, тому вага троса буде найменшим, якщо площа його перерізу по всій довжині однакова.

Чому кістка всередині порожня? Якщо елемент конструкції працює також на вигин, наприклад, коли ми утримуємо вантаж рукою, зігнутою в лікті, то задача пошуку максимальної міцності при заданій масі стає складнішою.

Ліктьова кістка працює на вигин, а плечова - на розтягнення, коли ми утримуємо вантаж зігнутою в лікті рукою

Очевидно, що нижні шари ліктьової кістки стискаються, а верхні розтягуються. При цьому довжина серединних шарів не змінюється при вигині ліктьової кістки, і тому матеріал, що знаходиться в цих шарах, не працює (тобто не деформується), а лише ускладнює кістка. Значить, частина матеріалу уздовж осі кістки можна видалити без великих збитків для її міцності, якщо кістка працює в таких умовах. Таким чином, оптимальною буде кістка з частково відсутньої «серцевиною», тому що циліндричний шар близько осі кістки не зазнає істотних деформацій при вигині і тільки збільшує її масу.

Схематичне зображення ліктьової кістки (горизонтальний брус) в ненавантаженому стані (вгорі) і при деформації, викликаної дією сили F. прикладеної до його вільного кінця (внизу). Пунктир позначає положення не деформуються шару

Природно, що і природа в процесі еволюції використовувала такий спосіб зменшення маси людини і тварин при збереженні міцності їх скелета. Найвиразніше це проявилося у птахів, які більше за інших тварин зацікавлені в зменшенні своєї маси. Наприклад, у фрегата, птиці, що має розмах крил близько 2 м, маса скелета всього 110 г. Однак і у безкрилих тварин кістки всередині теж порожні. Вимірювання показують, наприклад, що для найбільшої трубчастої кістки скелета, стегнової, ставлення внутрішнього діаметра поперечного перерізу до зовнішнього у людини та інших ссавців становить 0,5-0,6, що дає можливість приблизно на 25% зменшити масу скелета при збереженні тієї ж міцності.

Чому кістка міцніше граніту? Перш ніж хвалити природу за її обізнаність у питаннях опору матеріалів, подивимося, чи достатньо міцні наші кістки. У таблиці наведені значення критичних напружень (відношення прикладеної сили до площі поперечного перерізу зразка), при яких порушується цілісність різних матеріалів при випробуваннях на стиск і розтяг, а також їх модулі Юнга.

Як це не дивно, але кістка по міцності поступається тільки твердим сортам стали і виявляється набагато міцніше стали зразками міцності граніту і бетону. Чим же це пояснюється?

Кость - композитний матеріал і складається з двох абсолютно різних компонентів: еластичного колагену (з нього в основному складаються всі наші сухожилля) і кристалів гідроксиапатиту кальцію Ca10 (PO4) 6 (OH) 2 - 60% по масі.

Відомим прикладом композитного матеріалу служить склопластик, що представляє собою суміш скляних волокон і смоли. Причиною високої міцності кістки є поєднання еластичності і твердості. Багато звичайних (НЕ композитні) матеріали, володіючи великою твердістю, дуже крихкі. Кожен бачив, як розбивається скло. Від місця, де по склу вдарили, розбігаються тріщини, які і розколюють лист. Якщо тріщини не встигають утворитися, як це відбувається при ударі кулі, то лист скла залишається цілим, за винятком області, куди припав удар.

Таким чином, міцність багатьох матеріалів була б набагато вище, якби їх структура перешкоджала поширенню тріщин. Наявність в кістки сітки з колагену, що володіє високою еластичністю, служить перепоною для поширення в ній тріщин. У той же час твердість кістки забезпечується кристалами гідроксиапатиту кальцію, відклалися на поверхні колагенових ниток. На композитну природу кістки вказує низьке значення її модуля Юнга в порівнянні з однорідними матеріалами, що володіють такою ж міцністю.

Який же запас міцності у наших кісток? Середня частина плечової кістки людини має площу поперечного перерізу близько 3,3 см 2. Використовуючи дані, наведені в таблиці, легко показати, що максимальна вага вантажу, який може утримувати ця кістка, перебуваючи у вертикальному положенні і працюючи на стиск, близький до 60 000 Н. В той же час максимальна сила, яку може витримати та ж кістка, якщо вона працює на вигин, а сила прикладена до вільного кінця кістки перпендикулярно осі, близька до 5500 Н.

механіка карате

Чудовою ілюстрацією міцності кісток людини може служити популярний зараз вид спортивних вправ - карате. Тим, хто бачить вперше каратиста, що розбиває міцні бруски дерева або бетону, часто здається, що це містифікація. Однак навіть новачок після недовгої тренування зможе легко розбити голою рукою брусок дерева, а потім і цілу стопку.

Як може гола рука розбивати такі міцні предмети, як дубові або бетонні бруски, які не ламаючись сама? Спочатку спробуємо оцінити необхідну для цього енергію Wр. Використовуючи закон Гука для деформації бруска і формулу для потенційної енергії, запасеної в стислій пружині, можна отримати вираз для Wр.

де V - об'єм бруска, Т - максимальна напруга, яке витримує матеріал бруска, Е - модуль Юнга. Формула підтверджує інтуїтивні міркування, що, брусок тим важче розірвати, чим він більший і чим еластичнішою матеріал бруска, тому що велика енергія витрачається на його розтягнення.

Як правило, в своїх показових виступах каратисти використовують бетонні цеглу розміром 0,4 0,2 0,05 м. Беручи до уваги дані з таблиці і наведену вище формулу, можна отримати, що для таких брусків Wp 0,55 Дж. Швидкість рухається руки каратиста становить приблизно 12 м / с, а її маса 0,7 кг. Тому енергія, яку передає рука в момент удару, близька до 50 Дж. Таким чином, рука каратиста має достатній запас енергії, щоб зруйнувати брусок з бетону.

Те, що рука каратиста не ламається при ударі об брусок, частково пояснюється набагато більшою міцністю кістки в порівнянні з бетоном. Високошвидкісна кінозйомка кулака каратиста в момент удару показала, що його уповільнення при зіткненні з бруском складає приблизно 4000 м / с 2. Тому сила, що діє з боку бруска на кулак масою 0,7 кг, становить 2800 Н.

Якщо весь кулак в момент удару замінити кісткою завдовжки 6 см і діаметром 2 см, фіксованої в двох крайніх точках, а удар об брусок моделювати силою, що діє на її середину, то в таких умовах кістка може витримати 25 000 Н. Це приблизно в 8 разів більше, ніж сила, що діє на кулак каратиста при розламуванні бетонних брусків.

Однак можливості руки каратиста протистояти таким ударам ще більше, тому що на відміну від бетонного бруска вона не підтримується по краях і удар не доводиться точно в середину. Крім того, між кісткою і бруском бетону завжди знаходиться еластична тканина, що амортизує удар. Отже, посилатися на крихкість наших кісток, виправдовуючи свою нерішучість, ми не маємо права. Вони не підведуть.

А сухожилля навіщо?

Багато з тих рухів, які ми здійснюємо, бувають періодичними. До них відносяться ходьба, біг, катання на лижах, ковзанах, присідання і т.д. Під час цих рухів різні частини тіла рухаються нерівномірно. Наприклад, при бігу або ходьбі кожна нога поперемінно зменшує свою швидкість до нуля, стикаючись з землею і гальмуючи при цьому переміщення тіла. В подальшому та ж нога, відштовхуючись від землі, прискорює це переміщення. Щоб змусити автомобіль рухатися подібним чином, нам потрібно було б з частотою близько 1 Гц натискати то на педаль газу, то на гальмо. Природно, що витрата пального при такому імпульсному характері руху різко зростає, тому що частина кінетичної енергії автомобіля при гальмуванні переходить в тепло. Невже біг людини і тварин так само неекономічний, як рух цього гіпотетичного автомобіля?

Звичайно, ні. Дослідження вчених показали, що при бігу частина кінетичної енергії в фазі гальмування зберігається в сухожиллях ніг у вигляді потенційної енергії їх деформації, яка переходить знову в кінетичну подібно до того, як це відбувається при відскакування гумового м'яча від стіни. Таким чином, сухожилля є запасниками механічної енергії під час бігу і інших циклічних рухів.

Властивості сухожиль більш-менш однакові у всіх тварин, проте кінцівки копитних, наприклад овець і коней, найбільш пристосовані для зберігання механічної енергії. Деякі м'язи в нижніх частинах ніг цих тварин складаються практично з одних сухожиль. Найвиразнішим прикладом такого використання сухожиль можуть служити нижні частини кінцівок верблюда, майже позбавлені м'язових волокон. У нозі людини найпотужнішим є ахіллове сухожилля, на яке при бігу може діяти сила, що розтягує до 4000 Н.

Кожен може сам легко переконатися, що механічна енергія дійсно запасається в наших ногах, як в пружинах. Для цього спробуйте присідати, сильно згинаючи коліна. Ви відразу помітите, що підніматися набагато легше, якщо випрямляти ноги відразу, а не затримуватися в положенні із зігнутими ногами. Це можна пояснити тим, що при згинанні колін сухожилля спочатку розтягуються, і якщо, не даючи їм вкоротити, почати розгинати коліна, то збережена в сухожиллях потенційна енергія перейде в кінетичну. Якщо ж дозволити їм вкоротити ще до підйому, то ця енергія перейде в тепло.