Ознаки збіжності знакозмінних рядів
Определеніе.Знакочередующімся поруч називається ряд виду
де - позитивні числа.
Для Знакозмінні рядів має місце наступний остаточний признак збіжності:
Теорема Лейбніца. Якщо члени Знакозмінні ряду (4.1) зменшуються за абсолютною величиною і межа його загального члена при дорівнює нулю, то ряд сходиться, а його сума не перевищує першого члена.
Тобто для того, щоб досліджувати Знакозмінні ряд на збіжність, досить перевірити виконання двох умов:
Зауваження. Нерівності (3.2) можуть виконуватися, починаючи з деякого.
Дослідити на збіжність наступні ряди:
Рішення. Оскільки члени даного ряду по абсолютній величині монотонно зменшуються:. і взагалі, . а загальний член ряду при прагне до нуля, то в силу ознаки Лейбніца ряд сходиться.
Рішення. Перевіримо умову (3.2):. Довести це нерівність досить складно. Тому застосуємо наступний прийом: доведемо, що функція монотонно убуває на деякому інтервалі виду за допомогою обчислення похідної та дослідження функції (це вже було зроблено в §2, розділ IV, приклад 2). У нашому випадку при. і функція монотонно убуває в даному проміжку. Отже, нерівності (3.2) виконуються для будь-яких. починаючи з трьох.
Перевіримо умову (3.3). Для цього необхідно обчислити. Використовуючи правило Лопіталя, отримаємо. Отже, і.
Т.ч. обидва умови теореми Лейбніца виконуються, і, отже, даний ряд сходиться.
Визначення. Ряд називається знакозмінних. якщо серед його членів є як позитивні, так і негативні.
Очевидно, Знакозмінні ряди є окремим випадком знакозмінних.
Припускаємо тепер, що в запису
є як позитивні, так і негативні.
Теорема. (Модульний ознака збіжності знакозмінних рядів).
Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів даного знакозмінного ряду (3.4):
сходиться, то сходиться і даний ряд.
Відзначимо, що якщо ряд (3.5) розходиться, то звідси не випливає, що ряд (3.4) буде також розходяться. Наприклад, ряд сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд з абсолютних величин його членів (гармонійний ряд) розходиться.
У зв'язку з цим можна ввести поняття абсолютної і умовної збіжності:
Визначення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним. якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів.
Визначення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним. якщо ряд, складений з абсолютних величин. розходиться, а сам ряд сходиться.
Наприклад, ряд є умовно збіжним (див. Приклад 1). А ряд є абсолютно збіжним, тому що ряд, складений з абсолютних величин. сходиться (узагальнений гармонічний при).
Грубо кажучи, відмінність між абсолютно і умовно сходяться рядами полягає в наступному: абсолютно сходяться ряди сходяться в основному в силу того, що їх члени швидко зменшуються, а умовно сходяться - в результаті того, що позитивні і негативні складові частково знищують один одного.
Властивості абсолютно і умовно збіжних рядів істотно розрізняються: абсолютно сходяться ряди за своїми властивостями нагадують кінцеві суми: їх можна складати, множити, переставляти місцями члени ряду. Умовно сходяться ряди такими властивостями не володіють. Візьмемо, наприклад, умовно сходиться ряд. Переставимо члени ряду місцями і згрупуємо їх наступним чином:
Перепишемо ряд у вигляді (провівши першу дію в кожній дужці):
Бачимо, що від перестановки членів ряду сума його зменшилася в 2 рази.
Можна показати (теорема Рімана), що від перестановки членів умовно сходиться ряду можна отримати ряд, який має будь-яку наперед задану суму, і навіть розходиться ряд.
Дослідити ряди на абсолютну і умовну збіжність.
Рішення. Ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду: сходиться за ознакою порівняння, тому що . а ряд - сходиться (узагальнений гармонічний ряд при). Отже, даний ряд є абсолютно збіжним.
Рішення. Складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду:. Досліджуємо цей ряд на збіжність за допомогою граничного ознаки порівняння, порівнявши його з еталонним рядом (p підберемо в процесі порівняння), маємо і лише при рівності ступенів чисельника і знаменника, тобто при. отже, порівнювані ряди є розбіжними. Таким чином, ряд, складений з модулів, розходиться, і абсолютної збіжності немає.
Досліджуємо даний Знакозмінні ряд за допомогою ознаки Лейбніца. Очевидно, що:
Обидва пункти ознаки Лейбніца виконані, отже, даний ряд умовно сходиться.
Дослідити ряди на абсолютну і умовну збіжність:
До сих пір ми розглядали ряди, членами яких були числа, тобто числові ряди. Перейдемо до розгляду рядів, членами яких є функції, зокрема, статечні функції з цілими невід'ємними показниками ступеня:
Визначення. Ряд виду (4.1) називається статечним. а числа називаються коефіцієнтами статечного ряду.
Розглядають і статечні ряди більш загального вигляду:
(За ступенями). Такий ряд не відрізняється істотно від ряду виду (4.1), бо приводиться до нього простою заміною змінної:.
Визначення. Безліч значень. при яких статечної ряд (4.1) або (4.2) сходиться, називається областю збіжності статечного ряду.
Структура області збіжності статечного ряду встановлюється за допомогою наступної теореми:
1) Якщо степеневий ряд виду (4.1), тобто за ступенями. сходиться при значенні (відмінному від нуля), то він сходиться, і до того ж абсолютно, при всіх значеннях таких, що.
2) Якщо степеневий ряд виду (4.1) розходиться при значенні. то він розходиться при всіх значеннях таких, що.
З теореми Абеля випливає наступна теорема.
Теорема. Областю збіжності статечного ряду виду (4.2), тобто ряду за ступенями. є інтервал з центром в точці і з кінцями в точках і.
Число отримало назву радіусу збіжності. а інтервал - інтервалу збіжності статечного ряду. На кінцях інтервалу збіжності, тобто при і питання про збіжність або розбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду.
У деяких рядів інтервал збіжності вироджується в точку (при), у інших охоплює всю числову вісь (при).
Для початку зазначимо спосіб визначення інтервалу збіжності статечного ряду на прикладі ряду (4.1).
Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів цього ряду:
Оскільки при кожному конкретному ряд (4.3) є числовим знакоположітельним поруч, то для з'ясування питання про його збіжності можна скористатися ознакою Даламбера:
Припустимо, що існує
Тоді, за ознакою Даламбера ряд сходиться, якщо (тобто при), і розходиться, якщо (тобто при).
Отже, ряд (4.1) сходиться абсолютно при і розходиться при. і інтервалом збіжності є інтервал. а радіусом збіжності є число.
При ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність, тому необхідно, підставляючи значення в ряд (4.1), досліджувати виходять числові ряди в кожному конкретному випадку.
Зауваження. Інтервал збіжності можна знайти, використовуючи радикальний ознака Коші (також застосовуючи його до ряду (4.3)):
Знайти області збіжності степеневих рядів:
Рішення. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду
Застосуємо до нього ознака Даламбера.
Звідси отримуємо інтервал збіжності:.
Досліджуємо збіжність на кінцях інтервалу:
При вихідний ряд набуває вигляду: - це узагальнений гармонічний ряд прі. а значить, він сходиться. При отримуємо абсолютно сходиться ряд. тому ряд, складений з модулів його членів, сходиться.
Отже, інтервал збіжності ряду має вигляд:.
Рішення . Ряд, складений з модулів, має вигляд:
ряд сходиться при будь-яких. Таким чином, інтервалом збіжності є інтервал.
Рішення . Ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду. досліджуємо за допомогою радикального ознаки Коші:
Отже, область збіжності ряду складається з однієї точки.
Звідси отримуємо інтервал збіжності:.
При вихідний ряд має вигляд: - це розходиться ряд (узагальнений гармонічний при). Підставляючи. отримуємо умовно сходиться ряд. Остаточно, інтервал збіжності ряду має вигляд:.
Властивості статечних рядів
1. Сума статечного ряду є безперервною функцією у всьому інтервалі збіжності ряду.
2. Статечної ряд можна почленно інтегрувати з будь-якого відрізку. який лежить в інтервалі збіжності
3. Статечної ряд всередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати як завгодно раз. При цьому будуть виходити статечні ряди з тим же радіусом збіжності:
Завдання. Знайти області збіжності степеневих рядів:
84. 85. (Вказівка. При дослідженні збіжності на правому кінці інтервалу врахувати, що факторіали великих чисел можуть бути виражені наближено формулою Стірлінга).
Ряди Маклорена і Тейлора
Припустимо, що функція. певна і нескінченно диференційована в околі точки. може бути представлена у вигляді суми степеневого ряду або, іншими словами, може бути розкладена в степеневий ряд
Висловимо коефіцієнти ряду через. Знайдемо похідні функції. почленно диференціюючи ряд раз:
Вважаючи в отриманих равенствах. отримаємо. . . . ...,. звідки
Підставляючи значення коефіцієнтів. в (5.1), отримаємо ряд:
званий поруч Маклорена.
Відзначимо, що не всі функції можуть бути розкладені в ряд Маклорена. Може виявитися, що ряд Маклорена, складений формально для функції. є розбіжним або сходящимся ні до функції.
Якщо уявити ряд Маклорена в вигляді. де - -я часткова сума ряду, - -й залишок ряду, то можна сформулювати наступну теорему:
Теорема. Для того щоб ряд Маклорена сходився до функції. необхідно і достатньо, щоб при залишок ряду наближався до нуля, тобто для всіх значень з інтервалу збіжності ряду.
Можна довести, що якщо функція разложима в ряд Маклорена, то це розкладання єдине.
Зауваження. Ряд Маклорена є окремим випадком ряду Тейлора:
Ряд Тейлора тісно пов'язаний з формулою Тейлора:
. де - залишковий член формули Тейлора, який можна записати у формі Лагранжа: