Біном Ньютона, біномінальної розкладання з використанням трикутника Паскаля, підмножини

Біномінальної розкладання з використанням трикутника Паскаля

Розглянемо такі вирази зі ступенями (a + b) n. де a + b є будь-який біном, а n - ціле число.

Кожен вираз - це поліном. У всіх виразах можна помітити особливості.

1. У кожному виразі на один доданок більше, ніж показник ступеня n.

2. У кожному доданку сума ступенів дорівнює n, тобто ступеня, в яку зводиться біном.

3. Ступені починаються зі ступеня бинома n і зменшуються до 0. Останній член не має множника a. Перший член не має множника b, тобто ступеня b починаються з 0 і збільшуються до n.

4. Коефіцієнти починаються з 1 і збільшуються на певні значення до "половини шляху", а потім зменшуються на ті ж значення назад до 1.

Давайте розглянемо коефіцієнти докладніше. Припустимо, що ми хочемо знайти значення (a + b) 6. Відповідно до особливості, яку ми тільки що помітили, тут має бути 7 членів
a 6 + c1 a 5 b + c2 a 4 b 2 + c3 a 3 b 3 + c4 a 2 b 4 + c5 ab 5 + b 6.
Але як ми можемо визначити значення кожного коефіцієнта, ci. Ми можемо зробити це двома шляхами. Перший метод включає в себе написання коефіцієнтів трикутником, як показано нижче. Це відомо як Трикутник Паскаля:

Є багато особливостей в трикутнику. Знайдіть стільки, скільки зможете.
Можливо ви знайшли шлях, як записати наступний рядок чисел, використовуючи числа в рядку вище. Одиниці завжди розташовані по сторонам. Кожне залишився число це сума двох чисел, розташованих вище цього числа. Давайте спробуємо відшукати значення виразу (a + b) 6 шляхом додавання наступного рядка, використовуючи особливості, які ми знайшли:

Ми бачимо, що в останньому рядку

першій і останній числа 1;
друге число дорівнює 1 + 5, або 6;
третє число це 5 + 10, або 15;
четверте число це 10 + 10, або 20;
п'яте число це 10 + 5, або 15; і
шосте це 5 + 1, або 6.

Таким чином, вираз (a + b) 6 дорівнюватиме
(A + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6.

Для того, щоб звести в ступінь (a + b) 8. ми доповнюємо два рядки до трикутника Паскаля:

тоді
(A + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8.

Ми можемо узагальнити наші результати в такий спосіб.

Біном Ньютона з використанням трикутника Паскаля

Для будь-якого бинома a + b і будь-якого натурального числа n,
(A + b) n = c0 a n b 0 + c1 a n-1 b 1 + c2 a n-2 b 2 +. + Cn-1 a 1 b n-1 + cn a 0 b n,
де числа c0. c1. c2. cn-1. cn взяті з (n + 1) ряду трикутника Паскаля.

Приклад 1 Зведіть до степеня: (u - v) 5.

Рішення У нас є (a + b) n. де a = u, b = -v, і n = 5. Ми використовуємо 6-й ряд трикутника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тоді у нас є
(U - v) 5 = [u + (-v)] 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u) (- v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
Зверніть увагу, що знаки членів коливаються між + і -. Коли ступінь -v є непарним числом, знак -.

Приклад 2 Зведіть до степеня: (2t + 3 / t) 4.

Рішення У нас є (a + b) n. де a = 2t, b = 3 / t, і n = 4. Ми використовуємо 5-й ряд трикутника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тоді ми маємо

Розкладання бинома використовуючи значення факторіала

Припустимо, що ми хочемо знайти значення (a + b) 11. Недолік у використанні трикутника Паскаля в тому, що ми повинні обчислити всі попередні рядки трикутника, щоб отримати необхідний ряд. Наступний метод дозволяє уникнути цього. Він також дозволяє знайти певний рядок - скажімо, 8-й рядок - без обчислення всіх інших рядків. Цей метод корисний в обчисленнях, статистикою і він використовує биномиальное позначення коефіцієнта.
Ми можемо сформулювати біном Ньютона в такий спосіб.

Біном Ньютона з використанням позначення факторіала

Для будь-якого бинома (a + b) і будь-якого натурального числа n,
.

Біном Ньютона може бути доведений методом математичної індукції. Вона показує чому називається біномінальної коефіцієнтом.

Приклад 3 Зведіть до степеня: (x 2 - 2y) 5.

Рішення У нас є (a + b) n. де a = x 2. b = -2y, і n = 5. Тоді, використовуючи біном Ньютона, ми маємо

Нарешті, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5.

Приклад 4 Зведіть до степеня: (2 / x + 3√ x) 4.

Рішення У нас є (a + b) n. де a = 2 / x, b = 3√ x. і n = 4. Тоді, використовуючи біном Ньютона, ми отримаємо

Finally (2 / x + 3√ x) 4 = 16 / x 4 + 96 / x 5/2 + 216 / x + 216x 1/2 + 81x 2.

Знаходження певного члена

Припустимо, що ми хочемо визначити той чи інший член термін з виразу. Метод, який ми розробили, дозволить нам знайти цей член без обчислення всіх рядків трикутника Паскаля або всіх попередніх коефіцієнтів.

Зверніть увагу, що в біном Ньютона дає нам 1-й член, дає нам 2-й член, дає нам 3-й член і так далі. Це може бути Обощая наступним чином.

Знаходження (k + 1) члена

(K + 1) член виразу (a + b) n є.

Приклад 5 Знайдіть 5-й член у виразі (2x - 5y) 6.

Рішення По-перше, відзначаємо, що 5 = 4 + 1. Тоді k = 4, a = 2x, b = -5y, і n = 6. Тоді 5-й член виразу буде

Приклад 6 Знайдіть 8-й член у виразі (3x - 2) 10.

Рішення По-перше, відзначаємо, що 8 = 7 + 1. Тоді k = 7, a = 3x, b = -2 і n = 10. Тоді 8-й член виразу буде

Загальна кількість підмножин

Припустимо, що безліч має n об'єктів. Число підмножин, що містять k елементів є. Загальна кількість підмножин безлічі є число підмножин з 0 елементами, а також число підмножин з 1 елементом, а також число підмножин з 2-ма елементами і так далі. Загальна кількість підмножин безлічі з n елементами є
.
Тепер давайте розглянемо зведення в ступінь (1 + 1) n:
.
Так. загальна кількість підмножин (1 + 1) n. або 2 n. Ми довели наступне.

Повне число підмножин

Повне число підмножин безлічі з n елементами дорівнює 2 n.

Приклад 7 Скільки підмножин має безліч?

Рішення Безліч має 5 елементів, тоді число підмножин дорівнює 2 5. або 32.

Рішення Начинки на кожен гамбургер є елементами підмножини безлічі всіх можливих начинок, а порожня множина це просто гамбургер. Загальна кількість можливих гамбургерів дорівнюватиме

. Таким чином, Венді може запропонувати 512 різних гамбургерів.