Білінійна форма - це

на творі модулів - білінійної відображення -лівий унітарний -модуль, W - правий унітарний А-модуль, А - кільце з одиницею, що розглядається також як (А, А) -бімодуль. Якщо V = W, то кажуть, що f є Б. ф. на модулі V, а також, що Vнаделен метрич. структурою за допомогою f. Визначення, що стосуються білінійних відображень, мають сенс, зокрема, для Б. ф. Так, говорять про матриці Б. ф. щодо обраних базисів у VІ W, про ортогональності елементів і подмодулей щодо Б. ф. про ортогональних прямих сумах, невироджені і т. д. Напр. якщо А - поле і - конечномерное векторний простір над Ас базисом e1. е п, то для векторів

де. Іноді поліном від змінних ототожнюють з f і називають билинейной формою на V. Якщо кільце Акоммутатівно, то Б. ф. є окремий випадок полуторалінейной форми, (з тотожним антіавтоморфізмом).

Нехай кільце Акоммутатівно. Б. ф. f на А- модулі Vназ. симетричної (відповідно антісімметріческой, або кососімметріческіх), якщо для всіх буде (відповідно) і зв, знакозмінної, якщо. Знакозмінна Б. ф. антисиметрична, зворотне вірно тільки, якщо для будь-якого з слід. Якщо має кінцевий базис. то симетричні (відповідно антісімметріческіе, знакозмінні) форми на і тільки вони мають в цьому базисі симметрическую (відповідно антісімметріческую, знакозмінними) матрицю. Ставлення ортогональности щодо симметрич. або антісімметріч. форми на Vсімметрічно.

Б. ф. на Vназ. изометричной Б. ф. на W, якщо існує такий ізоморфізм А-модулів що для будь-яких. Цей ізоморфізм зв. ізометрією форм, а якщо - метричних автоморфизмом модуля V (або автоморфизмом форми f). Метрич. автоморфізм модуля утворюють групу (групу автоморфізмів форми f), приклади таких груп - ортогональна група. сімплектіч. група.

Нехай А - тіло, - Б. ф. на. простору конечномерного над А, тоді

і це число зв. рангом. Якщо Vконечномерно, а невирождени, то

і для кожного базису в Vсуществует дуальний щодо fбазіс в W, який визначається умовами (- символи Кронекера). Нехай, крім того ,. тоді підмодулі і зв. відповідно правим і лівим ядрами f; для симметрич. і антисимметрия, форм праве і ліве ядра збігаються і зв. просто ядром форми.

Нехай симметрич. або антпсімметріч. Б. ф. на V. Елемент. для догрого. наз. ізотропним; подмодуль зв. ізотропним, якщо. і цілком ізотропним, якщо. Цілком ізотропні підмодулі грають важливу роль у вивченні структури Б. ф. (Див. Вітта розкладання, Вітта теорема. Вітта кільце). Про будову Б. ф. см. також Квадратична форма.

Нехай Акоммутатівно і нехай є A-модуль всіх A-лінійних відображень Vв W, a - A-модуль всіх Б. ф. на. Для будь-якої Б. ф. f на і всякого формула

визначає A-лінійну форму на W. Відповідно, для формула

визначає A-лінійну форму на V. Відображення є елемент з

Аналогічно визначається відображення з

Відображення здійснюють ізоморфізми A-модулів

Б. ф. f зв. неособо зліва (справа), якщо - ізоморфізм; якщо f неособо і зліва і справа, то вона наз. неособо, в іншому випадку f зв. особливої. Невироджених Б. ф. може бути особливою. Для вільних модулів однаковою кінцевої розмірності Б. ф. fна є неособо тоді і тільки тоді, коли визначник матриці f щодо будь-яких базисів в - оборотний елемент кільця A. Наступні ізоморфізми

задаються неособо Б. ф. f, визначаються формулами

Ендоморфізм зв. сполученими щодо f, якщо

Літ. : [1] Бурбак Н. Алгебра. Модулі, кільця, форми, пров. з франц. М. 1966; [2] Ленг С. Алгебра, пров. з англ. М. 1968; [3] Артін Е. Геометрична алгебра. пер. c англ. М. 1969. В. Л. Попов.

Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.

Дивитися що таке "білінійна форма" в інших словниках:

Білінійна форма - форма 2 го ступеня, т. Е. Однорідний многочлен 2 го ступеня від двох груп змінних і виду. де числа. Напр. axy при n = 1, при n = 2 і т. д ... Великий Енциклопедичний словник

Білінійна форма - Нехай є векторний простір над полем (найчастіше розглядаються поля і). Билинейной формою називається функція. лінійна по кожному з аргументів ... Вікіпедія

билинейная форма - форма 2 го ступеня, тобто однорідний многочлен 2 го ступеня від двох груп змінних x1, х2. xn і y1, y2. yn виду aikxiyk), де aik числа. Наприклад, axy при n = 1, a11x1y1 + a12x1y2 + a21х2y1 + a22x2y2 при n = 2 і т. Д. * * * ... Енциклопедичний словник

Білінійна форма - форма (т. Е. Однорідний многочлен) 2 го ступеня від двох груп змінних x1, x2. xn і y1, y2. yn виду Наприклад, аху (Б. ф. від змінних х і у); a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 (Б. ф. від змінних x1, х2 і ... ... Велика радянська енциклопедія

Білінійна форма - форма 2 го ступеня, т. Е. Однорідний многочлен 2 го ступеня від двох груп змінних х1, х2. хn і у2, y2. yn виду Е (сума) i від 1 до n Е (сума) k от1 до n (aikxiyk). де aik числа, напр. аху при п = 1, a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 При ... Природознавство. енциклопедичний словник

ЯДЕРНА білінійна форма - билинейная форма В (f, g) на декартовом творі локально опуклих просторів Fи G, яка припускає уявлення виду де сумовною послідовність, і равностепенно безперервні послідовності в сполучених до Fи G ... ... Математична енциклопедія

Кососімметріческіх білінійна форма - антісімметріческая билинейная форма, билинейная форма f на унітарній А модулі V (де А коммутативное кільце з одиницею), яка задовольнить умові: Будова будь К. б. ф. f на скінченномірному векторному просторі Vнад полем характеристики повністю ... Математична енциклопедія

ФОРМА (в математиці) - ФОРМА, в математиці многочлен від декількох (m) змінних, всі члени яких мають одну і ту ж ступінь (під ступенем одночлена xayb розуміють число n = a + b +. + G). Залежно від числа m змінних розрізняють бінарні форми (m = 2), тернарние ... ... Енциклопедичний словник

ФОРМА - в математиці многочлен від декількох (m) змінних, всі члени яких мають одну і ту ж ступінь (під ступенем одночлена x? Y? Розуміють число n =.). Залежно від числа m змінних розрізняють бінарні форми (m = 2), тернарние форми (m ... Великий Енциклопедичний словник

форма - и; ж. [Лат. fōrma вид, вигляд, зовнішність] 1. Зовнішні обриси, зовнішній вигляд предмета. Земля має форму кулі. Квадратна ф. Предмет зігнутої форми. Хмари змінюють свої форми. Судини різних форм. Налита в посудину вода приймає форму судини. ... ... Енциклопедичний словник