Абсолютне значення (модуль), визначення модуля

КВАДРАТНІ КОРІННЯ І МОДУЛІ
b 2 = a
(3) 2 = 9
so b = 3
але.
(-3) 2 = 9 тобто b = -3

Позитивний корінь квадрата числа дорівнює цьому числу.

ТЕОРЕМА 1.2.2
Для будь-якого дійсного числа a
√ a 2 = | a |
e.g.
√ (-4) 2 = √ 16 = 4 = | -4 |

ТЕОРЕМА 1.2.3
Якщо a і b дійсні числа, тоді

1. | -a | = | A | число a і його від'ємне значення має однакові модулі.
2. | Ab | = | A || b | Модуль добутку двох чисел є твір їх модулів.
3. | A / b | = | A | / | b | Модуль відносини двох чисел є ставлення їх модулів.

Доведення
З теореми 1.2.2

(A) | -a | = √ (-a) 2 = √ a 2 = | a |

(B) | ab | = √ (ab) 2 = √ a 2 b 2 = √ a 2 √ b 2 = | a || b |

Геометричне уявлення модуля

Де A і B є точки з координатами a і b. Відстань між A і B є

Теорема 1.2.4 (Формула відстані)
Якщо A і B - точки на координатній прямій з координатами a і b відповідно, тоді відстань d між A і B
d = | b - a |

Об'єднання двох нерівностей дає
(-∞. -6] ∪ [-2. + ∞)

Не завжди вірно, що
| A + b | = | A | + | B |
наприклад
якщо a = 2 і b = -3, тоді a + b = -1 і тому | a + b | = | -1 | = 1
в той час як
| A | + | b | = | 2 | + | -3 | = 2 + 3 = 5 тому | a + b | = | A | + | b |

1.2.5 Теорема - (Нерівність трикутника)
Якщо a b тоді | a + b | ≤ | a | + | b |
Доведення
Так як для будь-якого дійсного числа a і b. Ми знаємо, що
-| A | ≤ a ≤ | a | and - | b | ≤ b ≤ | b |
-| A | ≤ a ≤ | a |
+
-| B | ≤ b ≤ | b |
______________
= - | a | + - | b | ≤ a + b ≤ | a | + | b |
______________________________________________
Сейчай ми маємо два випадки:

Перший випадок, де a + b ≥ 0
виразно: a + b = | a + b |
Звідси
| A + b | ≤ | a | + | b |

Другий випадок де a + b _______________________________ →