Закон Максвелла про розподіл молекул за швидкостями - студопедія

Рух молекул газу підпорядковується законам статистичної фізики. В середньому швидкості і енергії всіх молекул однакові. Однак в кожен момент часу енергія і швидкості окремих молекул можуть значно відрізнятися від середнього значення.

За допомогою теорії ймовірності Максвеллові вдалося вивести формулу для відносної частоти, з якою в газі при даній температурі зустрічаються молекули зі швидкостями в певному інтервалі значень.

Закон розподілу Максвелла визначає відносне число молекул dN / N, швидкості яких лежать в інтервалі (u, u + du).

де N - загальне число молекул газу; - число молекул, швидкості яких укладені в певному інтервалі; u - нижня межа інтервалу швидкостей; d u - величина інтервалу швидкостей; T - температура газу; e = 2,718 ... - основа натуральних логарифмів;

k = 1,38 × 10 -23 Дж / К - постійна Больцмана; m0 - маса молекули.

При отриманні цієї формули Максвелл грунтувався на наступних припущеннях:

1. Газ складається з великого числа N однакових молекул.

2. Температура газу постійна.

3. Молекули газу здійснюють теплове хаотичний рух.

4. На газ не діють силові поля.

Відзначимо. що під знаком експоненти у формулі (8.29) варто відношення кінетичної енергії молекули до величини kT. характеризує середній (по молекулам) значення цієї енергії.

Розподіл Максвелла показує, яка частка dN / N загального числа молекул даного газу має швидкість в інтервалі від u до u + du.

Графік функцій розподілу (рис. 8.5) асиметричний. Положення максимуму характеризує найбільш часто зустрічається швидкість, яку називають найбільш імовірною швидкістю um. Швидкості, що перевищують um. зустрічаються частіше, ніж менші швидкості. З підвищенням температури максимум розподілу зсувається в напрямку великих швидкостей.

Одночасно крива стає більш плоскою (площа, яка знаходиться під кривою, не може змінитися, так як число молекул N залишається постійним).

Для визначення найбільш вірогідною швидкості потрібно досліджувати на максимум функцію розподілу Максвелла (прирівняти першу похідну до нуля і вирішити щодо u). В результаті отримуємо:

Ми опустили множники, які не залежать від u. Здійснивши диференціювання, прийдемо до рівняння:

Перший співмножник (експонента) звертається в нуль при u = ¥, а третій співмножник (u) при u = 0. Однак з графіка (рис. 8.5) видно, що значення u = 0 і u = ¥ відповідають мінімумам функції (8.29). Отже, значення u. відповідає максимуму, виходить з рівності нулю другої дужки:. Звідси

Введемо позначення для функції розподілу молекул за швидкостями (8.29):

Відомо, що середнє значення деякої фізичної величини j (x) можна обчислити за формулою:

З (8.32) отримаємо вирази для середнього значення модуля швидкості u і середнього значення квадрата u:

Таким чином, середня швидкість молекул (її називають також середньої арифметичної швидкістю) має значення:

Квадратний корінь з виразу (8.34) дає середню квадратичну швидкість молекул:

Відзначимо. що вона збігається з формулою (8.24). На рис. 8.5 наведено графік функції розподілу Максвелла. Вертикальними лініями відзначені три характерні швидкості.