Загальне визначення функції приклади область існування функції - вирішення завдань, контрольних

ЗАГАЛЬНИЙ ВИЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ § 1. Приклади і визначення Ми вже зустрічалися з поняттям змінної величини, незалежної змінної і функції, але розглядали лише найпростіші випадки. Наведемо ще приклади змінних і постійних величин: 1. Найбільш часто зустрічається змінна величина - час. 2. Перемінної величиною є температура повітря протягом доби. 3. Відношення довжини окружності до її діаметра є величина постійна - це число я. 4. Прискорення сили тяжіння є величина постійна, проте це вірно тільки при дотриманні певних фізичних умов. 5. Температура кцпенія хімічно чистої води постійна і дорівнює 100 ° С, але це вірно при нормальному атмосферному тиску. Таким чином, ми спостерігаємо величини змінні, постійні та умовно постійні. Визначення. Дві змінні величини називаються пов'язаними функціональною залежністю, якщо кожному значенню однієї з них відповідає одне або кілька певних значень інший. Перша величина називається незалежною змінною, а друга-залежною змінною чи функцією. Якщо кожному значенню незалежної змінної відповідає одне значення функції, то функція називається однозначної, в іншому випадку-багатозначною. Лінійна функція, все тригонометричні, показова і логарифмічна функції є однозначними. Неявні функції, що визначають коло, еліпс і гіперболу, - двозначні, т. Е. Багатозначні. Наведемо ще приклади функцій. Маючи електричний ланцюг, в яку включені джерело постійної напруги і опір, ми можемо, змінюючи величину опору, отримувати різний струм. У цьому прикладі напруга V-постійна величина, а опір R і струм / - змінні. Зв'язок між ними встановлюється законом Ома. Залежність тут запісива-, V ється так: У попередніх параграфах ми вже зустрічалися з графіками окремих функцій (див. Гл. Ill, § 1 і гл. IV, §§ 1, 2, 3), але там не було дано загального визначення графіка функції. Тепер ми маємо можливість дати це визначення. Розглянемо деяку функцію. Візьмемо будь-яке можливе значення незалежного змінного і позначимо його через х, а відповідне йому значення функції - через у. Розглянемо точку, абсциса якої дорівнює jc, а ордината у, т. Е. Точку (х, у). Якщо будемо міняти значення х, то будуть виходити нові точки. Сукупність усіх отриманих точок і назвемо графіком функції. Інакше кажучи, Рис. 38. графіком функції називається геометричне місце точок, абсциси яких дорівнюють значенню незалежної змінної, а ординати - відповідним значенням функції. Як видно, розглянуті раніше графіки підходять під це визначення. На рис. 38 дан графік зміни температури за добу Дайте відповідь на це графік дозволяє дізнатися, яка температура була в певний момент минулої доби. Так, наприклад, о 8 годині ранку (знаходимо на осі абсцис точку з Координа-тій 8) температура була 10 градусів за Цельсієм (перпендикуляр, восставленний зі знайденої точки до осі абсцис, в прийнятому масштабі має довжину 10 одиниць). Таким чином графік, зображений на рис. 38, встановлює відповідність між кожним моментом часу і числом, що дає температуру в цей момент. Зауваження. Функцією називається не тільки залежне змінне, а й закон або спосіб, який встановлює відповідність між залежним і незалежним змінними. Наприклад, якщо дана функція у = х8 + Ух9 то можна також сказати, що дана функція х * - \ - ух. Існує кілька способів завдання функцій; найбільш часто функції задаються рівняннями, таблицями або графіками. Наприклад, лінійна функція задається рівнянням; функція, що дає зміна температури повітря протягом дня, зазвичай задається графіком; залежність кута прицілювання від відстані дається таблицею. Подібно до того, як в алгебрі для позначення чисел вводяться букви, так і для функцій в загальному вигляді вводиться наступне позначення. Якщо у-функція, ах-незалежне змінне, то будемо писати У = / (*). Тут / позначає набір і порядок математичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня; знаходження логарифма, знаходження тригонометричних функцій і т. Д.). У записі близько / ставлять дужки, в яких пишуть, над чим треба здійснити зазначені дії. Запис y = f (x) Новомосковскют так: у є функція від х. Приклад 1./(*) = J / V +1. Тут / позначає: 1) виведи в третю ступінь; 2) додай одиницю; 3) витягни квадратний корінь. Приклад 2. y = zf (x) - 2 sin jc. Тут / позначає: 1) знайди значення синуса; 2) Додай на два. Приклад 3. У = / (х) = х * + 4л; 2+ 5. Тут / позначає: 1) виведи в третю ступінь; 2) виведи в другу ступінь; 3) результат, отриманий в попередньому пункті побільшиш на 4; 4) числа, отримані в пунктах 1 і 3, склади; 5) додай число п'ять до отриманого раніше. Приклад 4. Функція f (x) визначена так: якщо л. то / (х) = 0; якщо 1, то / (*) = 1; якщо лг> 1, то /(.*) = 0. Хоча в цьому прикладі не вказано, за допомогою яких математичних дій і операцій функція / (*) виражається через х, проте її значення можна вказати для будь-якого х. Наприклад, нехай х = - 3, в цьому випадку виконується нерівність -3, тому / (- 3) = 0. Якщо х = - ^ = у той виконується нерівність =, і, отже, = 1. Якщо х = 11,5 , то виконано нерівність 11,5> 1, тому / (11,5) = 0. Функції такого типу, як тільки що показана, зустрічаються не тільки в підручниках математики; вони часто зустрічаються в сучасній фізиці і техніці. Розглянемо схему, зазначену на рис. 39. Тут Б позначає джерело постійної електрорушійної сили (наприклад, батарея), В-вимикач, А-амперметр, R-опір. Мал. 40. Рис. 39. Якщо вимикач розімкнений, то в ланцюзі струму немає і амперметр показує 0; якщо замкнемо вимикач, то в ланцюзі з'явиться постійний струм і амперметр покаже його величину. Стрілка амперметра буде нерухома весь час до виключення вимикача. Якщо на горизонтальній осі координат будемо відкладати час ty а на іншій осі величину струму /, то графік цієї функціональної залежності буде виглядати так, як вказано на рис. 40. На цьому малюнку tx позначає момент включення струму, a tt-момент виключення. Різних функцій існує нескінченна безліч, тому не можна, та й не потрібно, кожної з них давати певну назву. Але, проте, деяких функцій, що зустрічаються дуже часто, дають назви. Наведемо деякі з них: лінійна, квадратична, тригонометрическая, логарифмічна, показова функції, степеневої многочлен (або просто многочлен) виду .У = я0хп + § 2. Область існування функції Визначення. Сукупність усіх значень незалежної змінної, для яких встановлено закон або правило, що дозволяє знайти відповідні значення функції, називається областю існування функції. Приклад 1. Область існування функції у = Х складається з усіх дійсних чисел, крім нуля, оскільки на нуль ділити не можна. Приклад 2. Область існування функції у => /

х складається з усіх невід'ємних чисел. Негативні числа не входять до область існування, так як квадратний корінь з від'ємного числа є числом комплексним, а комплексними числами ми не займаємося. Приклад 3. Функція y = \ gx має область істота-Квітна, що складається з усіх позитивних чисел, т. Е. Х> 0. Приклад 4. у =

Г * Область існування цієї функції-всі дійсні числа, крім 1 і +1. Числа - 1 і не входять в область існування, так як при цих значеннях знаменник звертається в нуль, а на нуль делнть не можна. j Приклад 5. у = ^. Область існування складається з усіх позитивних чисел, крім одиниці.