Взаємно прості числа, їх властивості

Канонічний розклад натурального числа в загальному вигляді

Канонічний розклад натурального числа в загальному вигляді має вигляд:

$ M = p ^ _1 \ cdot p ^ _2 \ cdot \ dots \ dots. \ Cdot p ^ _k $

де $ p_1, p_2 \ dots \ dots .p_k $ - прості числа, а показники степеней- натуральні числа.

Подання числа у вигляді канонічного розкладання на прості безлічі полегшує знаходження найбільшого загального дільника чисел, і виступає як наслідок докази або визначення взаємно простих чисел.

Знайти найбільший спільний дільник чисел $ 180 $ і $ 240 $.

Рішення: Розкладемо числа на прості множини за допомогою канонічного розкладання

$ 180 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 $, тоді $ 180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 $

$ 240 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 5 $, тоді $ 240 = 2 ^ 4 \ cdot 3 \ cdot 5 $

Тепер знайдемо НСД цих чисел, для цього виберемо ступеня з однаковим підставою і з найменшим показником ступеня, тоді

$ НСД \ (180; 240) = 2 ^ 2 \ cdot 3 \ cdot 5 = 60 $

Складемо алгоритм знаходження НСД з урахуванням канонічного розкладання на прості множники.

Щоб знайти найбільший спільний дільник двох чисел за допомогою канонічного розкладання, необхідно:

розкласти числа на прості множники в канонічному вигляді
вибрати ступеня з однаковим підставою і з найменшим показником ступеня входять до складу розкладання цих чисел
Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2.Отримання число і буде шуканим найбільшим спільним дільником.

Вирішуємо контрольні з усіх предметів. 10 років досвід! Ціна від 100 руб. термін від 1 дня!

Визначити, чи будуть простими, взаємно простими числами числа $ 195 $ і $ 336 $.

Рішення: Скористаємося для розкладання на множники канонічним розкладанням:

$ 195 = 3 \ cdot 5 \ cdot 13 $

$ 336 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 7 = 2 ^ 4 \ cdot 3 \ cdot 5 $

$ НСД \ (195; 336) = 3 \ cdot 5 = 15 $

Ми бачимо, що НОД цих чисел відмінний від $ 1 $, значить цифри не взаємно прості. Також ми бачимо, що до складу кожного з чисел входять множники, крім $ 1 $ і самого числа, значить простими числа так само бути не будуть, а будуть складовими.

Визначити, чи будуть простими, взаємно простими числами числа $ 39 $ і $ 112 $.

Рішення: Скористаємося для розкладання на множники канонічним розкладанням:

$ 112 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 7 = 2 ^ 4 \ cdot 7 $

Ми бачимо, що НОД цих чисел дорівнює $ 1 $, значить числа взаємно прості. Також ми бачимо, що до складу кожного з чисел входять множники, крім $ 1 $ і самого числа, значить простими числа так само бути не будуть, а будуть складовими.

Визначити чи будуть простими, взаємно простими числами числа $ 883 $ і $ 997 $.

Рішення: Скористаємося для розкладання на множники канонічним розкладанням:

Ми бачимо, що НОД цих чисел дорівнює $ 1 $, значить числа взаємно прості. Також ми бачимо, що до складу кожного з чисел входять тільки множники, рівні $ 1 $ і самому числу, значить числа будуть простими.