Взаємно однозначні відповідності

Визначення. Відповідність між Х і Y називають взаємно однозначним. якщо кожен елемент множини Х має єдиний образ в безлічі Y і кожен елемент множини Y є чином точно одного елемента безлічі Х.

1) Нехай Х = a, b, c> - безліч сторін трикутника, Y = A, B, C> - безліч його кутів. Відповідність R = а, А), (в, В),
(С, С)> - є взаємно однозначним.

3) Нехай N - безліч натуральних чисел, В - безліч парних натуральних чисел. Відповідність між ними поставимо так: кожному натуральному числу n зіставляється парне натуральне число 2n і назад, кожному натуральному числу 2n зіставляється число n Î N. Ясно, що це відповідність є взаємно однозначним.

Поняття взаємно однозначної відповідності дозволяє визначити поняття «рівнопотужності множин».

Визначення. Безлічі X і Y називають рівнопотужними. якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Якщо безлічі X і Y рівнопотужні, то пишуть X

Неважко помітити, що пари множин, які були розглянуті в прикладах 1, 2, 3 рівнопотужні. У прикладах 1 і 2 були розглянуті пари кінцевих рівнопотужних множин, а в прикладі 3 - пара нескінченних рівнопотужних множин.

Рівнопотужності кінцеві безлічі мають однакове число елементів і називаються рівночисельний.

Серед нескінченних множин бувають рахункові і незліченні безлічі. Якщо безліч рівнопотужності безлічі N (натуральних чисел), його називають рахунковим. Приклад рахункового безлічі наведено вище - це безліч парних натуральних чисел. Взагалі, легко довести, що будь-яке нескінченне підмножина безлічі N лічильно: щоб пронумерувати його елементи, треба розташувати елементи підмножини в порядку зростання і присвоїти їм номери по порядку. Можна довести, що безліч Z (всіх цілих чисел), безліч Q (всіх раціональних чисел) є рахунковими множинами. Безліч дійсних чисел R є незліченною безліччю (доказ наводиться в [16], с. 51).

§ 4 Зворотне відповідність. протилежне відповідність

Наведений рисунок 2 можна описати словами двояко: «трикутник х вписаний в окружність у» і «коло у описана навколо трикутника х». Хоча геометричний сенс цих пропозицій один і той же, мова в них йде про хоча і тісно пов'язаних один з одним, але різних відповідностях.

У першому випадку мова йде про відповідність між безліччю трикутників X і безліччю кіл Y. У другому випадку між множинами Y і X. Графіки цих двох відповідностей пов'язані один з одним таким чином: якщо пара (х, у) належить графіку першого відповідності, то пара (у, х) належить графіку другого відповідності, і назад. Такі відповідності називають зворотними один одному.

Визначення. Якщо R - відповідність між множинами X і Y. то зворотним йому називають таку відповідність, що позначається R-1. між множинами Y і X. для якого y R -1 x в тому і тільки в тому випадку, коли xRy.

Графіки взаємно обернених відповідностей між числовими множинами симетричні щодо бісектриси 1-го і 3-го координатних кутів. Щоб отримати граф відповідності R-1. треба змінити на зворотний напрямок всіх стрілок в графі відповідності R. На малюнках 3 і 4 наведені графи взаємно зворотних відповідностей R і R -1 між множинами X і Y.