Властивості універсальної множини
Відносини між множинами
Два безлічі A і B можуть вступати один з одним в різні відносини.
A включено в B, якщо кожен елемент множини A належить також і множині B:
A включає B, якщо B включено в A:
A одно B, якщо A і B включені один в одного:
A строго включено в B, якщо A включено в B, але не дорівнює йому:
A строго включає B, якщо B строго включено в A:
A і B не перетинаються, якщо у них немає спільних елементів:
Аі В не перетинаються
A і B знаходяться в загальному положенні, якщо існує елемент, що належить виключно безлічі A, елемент, що належить виключно безлічі B, а також елемент, що належить обом множинам:
А та В знаходяться в загальному положенні
2. Основні операції над множинами. Співвідношення між множинами.
Нижче перераховані основні операції над множинами:
Якщо множини A і B не перетинаються. то їх об'єднання позначають також.
Декартово або пряме твір:
Для кращого розуміння сенсу цих операцій використовуються діаграми Ейлера - Венна, на яких представлені результати операцій над геометричними фігурами як множинами точок.
Операція доповнення має на увазі деякий універсум (універсальне безліч U, яке містить A):
Відносним ж доповненням називається А \ В (див.вище):
Результатом є кардинальне число (для кінцевих множин - натуральне).
Безліч всіх підмножин (булеан):
Позначення відбувається з того, що в разі кінцевих множин.
Спочатку виконуються операції доповнення, потім перетину, об'єднання і різниці, які мають однаковий пріоритет. Послідовність виконання операцій може бути змінена дужками.
Безліч A міститься у великій кількості B (безліч B включає безліч A), якщо кожен елемент A є елемент B:
В цьому випадку A називається підмножиною B, B - надбезліччю A. Якщо і. то A називається власним підмножиною B. Зауважимо, що. За визначенням .
Два безлічі називаються рівними, якщо вони є підмножинами один одного:
Іноді для того, щоб підкреслити, що безлічі можуть бути рівні, використовується запис:
3. Діаграми Ейлера-Венна. Універсальне безліч.
Кола Ейлера - геометрична схема, за допомогою якої можна зобразити відносини між підмножинами, для наочного уявлення. Винайдено Леонардом Ейлером. Використовується в математиці, логіці, менеджменті та інших прикладних напрямках.
Універсальне безліч - в математиці безліч, що містить всі мислимі об'єкти. Універсальне безліч єдино.
Універсальне безліч зазвичай позначається U (від англ. Universe, universal set), рідше E.
Властивості універсальної множини
Будь-який об'єкт, як і вона була його природа, є елементом універсальної множини.
Зокрема, саме універсальне безліч містить себе в якості одного з багатьох елементів.
Будь-яке безліч є підмножиною універсальної множини.
Зокрема, саме універсальне безліч є своїм підмножиною.
Об'єднання універсальної множини з будь-яким безліччю одно універсального безлічі.
Зокрема, об'єднання універсальної множини з самим собою одно універсального безлічі.
Перетин універсальної множини з будь-яким безліччю одно останньому безлічі.
Зокрема, перетин універсальної множини з самим собою одно універсального безлічі.
Виняток універсальної множини з будь-якого безлічі одно порожньому безлічі.
Зокрема, виключення універсальної множини з себе одно порожньому безлічі.
Виключення будь-якого безлічі з універсальної множини одно доповненню цієї множини.
Доповнення універсальної множини є порожня множина.
Симетрична різниця універсальної множини з будь-яким безліччю дорівнює доповнення останнього безлічі.
Зокрема, симетрична різниця універсальної множини з самим собою дорівнює пустому безлічі.
4. Перестановки. Бінарні відносини.
В комбінаториці перестановка - це упорядкований набір чисел зазвичай трактований як біекція на множині. яка числу i ставить відповідність i-й елемент з набору. Число n при цьому називається порядком перестановки.
Число всіх перестановок порядку n дорівнює числу розміщень з n по n, тобто факторіалом:
В математиці бінарним відношенням називається підмножина декартова твори двох множин. Зокрема, бінарним відношенням на множині називається безліч впорядкованих пар елементів цієї множини.