Визначники рішення систем лінійних рівнянь
Ясно, що мінори та алгебраїчні доповнення можуть відрізнятися тільки знаком.
Розглянемо без доказу важливу теорему - теорему розкладання визначника.
Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.
Використовуючи цю теорему, запишемо розкладання визначника третього порядку по першому рядку.
.
У розгорнутому вигляді:
.
Останню формулу можна використовувати як основну при обчисленні визначника третього порядку.
Теорема розкладання дозволяє звести обчислення визначника третього порядку до обчислення трьох визначників другого порядку.
Рекомендується розкладати визначник за тією рядку або стовпцю, де є нулі, тому що для нульових елементів не потрібно шукати алгебраїчні доповнення.
Теорема розкладання дає другий спосіб обчислення визначників третього порядку.
Приклади. Обчислити визначник, використовуючи теорему розкладання.
використовували розкладання по другому рядку.
Теорема розкладання дозволяє також обчислювати визначники більш високого порядку, зводячи їх до обчислення декількох визначників третього або другого порядку.
Так, визначник четвертого порядку можна звести до обчислення чотирьох визначників третього порядку.
3-ий навчальний питання ТЕОРЕМА Крамера
Застосуємо розглянуту теорію визначників до вирішення систем лінійних рівнянь.
1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
А11. ..., а22 - коефіцієнти при невідомих, занумерованих двома індексами, де перший індекс означає номер рівняння, а другий індекс - номер невідомого.
Нагадаємо, що під рішенням системи (3) розуміється пара значень х1, х2. які при підстановці в обидва рівняння звертають їх у вірні рівності.
У разі, коли система має єдине рішення, це рішення можна знайти за допомогою визначників другого порядку.
ВИЗНАЧЕННЯ 5. Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.
Позначимо визначник системи D.
.
У стовпчиках визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х1 і при, х2.
Введемо два д о п о л н і т е л ь н и х о б о р о д е л і т е л я, які виходять з визначника системи заміною одного зі стовпців стовпцем вільних членів:
.
Розглянемо без доказу наступну теорему:
ТЕОРЕМА Крамера (для випадку n = 2)
Якщо визначник D системи (3) відмінний від нуля (D¹ 0), то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:
Формули (4) називаються формулами Крамера.
ПРИКЛАД. Вирішити систему за правилом Крамера.
.
2. Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
У разі однозначної відповіді систему (5) можна вирішити за допомогою визначників третього порядку.
Визначник системи D має вигляд:
Введемо три додаткових визначника:
.
Аналогічно формулюється теорема.
ТЕОРЕМА Крамера (для випадку n = 3)
Якщо визначник D системи (5) відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:
Формули (6) - це формули Крамера.
ЗАУВАЖЕННЯ. Г. Крамер (1704 - 1752) - швейцарський математик.
Зауважимо, що теорема Крамера застосовна, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і коли визначник системи D відмінний від нуля.
Відзначимо тільки один випадок:
Якщо визначник системи дорівнює нулю (D = 0), а хоча б один з додаткових визначників відмінний від нуля, то система рішень не має (тобто є несумісною).
Теорему Крамера можна узагальнювати для системи n лінійних рівнянь з n невідомими.
, то єдине рішення системи знаходиться по
виходить з визначника D, якщо в ньому стовпець коефіцієнтів при невідомому
xi замінити стовпцем вільних членів.
Зауважимо, що визначники D, D1. .... Dn мають порядок n.