Визначення обмеженою і необмеженої функції
Нехай задана функція y = f (x), певна на деякій множині D значень аргументу.
Функція y = f (x) називається обмеженою на множині D, якщо існує позитивне число М таке, що для всіх значень x з розглянутого безлічі, виконується нерівність | f (x) | ≤M. Якщо ж такого числа М не існує, то функція f (x) називається необмеженою на безлічі D.
приклад:
Функція y = sin x, певна при -∞
Якщо функція f (x) має межу в точці a, то вона обмежена в деякому околі точки a.
Доведення:
Нехай. тоді. звідси
отримуємо. Зворотне невірно.
Контрольний приклад:
в околиці точки 0.
- не існує.
Нескінченно малі і їх властивості.
Функція y = f (x) називається нескінченно малою при x → a або при x → ∞, якщо або. тобто нескінченно мала функція - це функція, межа якої в даній точці дорівнює нулю.
- Функція f (x) = (x-1) 2 є нескінченно малою при x → 1, так як (див. Рис.).
- Функція f (x) = tgx - нескінченно мала при x → 0.
- f (x) = ln (1 + x) - нескінченно мала при x → 0.
- f (x) = 1 / x- нескінченно мала при x → ∞.
Основні властивості нескінченно малих функцій (б.м.)
1 ° Сума кінцевого числа б.м. функцій є функцією нескінченно малою.
2 ° Твір б функції на обмежену є функція нескінченно мала.
3 ° Твір двох Б.М функцій є функція нескінченно мала ..
4 ° Твір Б.М функції на константу є нескінченно малою функцією.
5 ° Частка від ділення Б.М функції на функцію, межа якої не дорівнює нулю, є функція нескінченно мала.
6 ° Функція. обернена до Б.М функції. є функція нескінченно велика. Вірно і зворотне.
Основні теореми про границі.
Теорема 1. Межа суми дорівнює сумі меж, якщо вони
існують:
Доведення:
З теореми про зв'язок між межею і нескінченно малою величиною слід:
отримуємо
Теорема 2. Межа твори дорівнює добутку меж, якщо вони існують:
Доведення:
З теореми про зв'язок між межею і нескінченно малою величиною слід:
Отримуємо Теорема 3. Межа приватного дорівнює приватному меж:. при
умови: всі межі існують і.
Доведення:
З теореми про зв'язок між межею і нескінченно малою величиною слід:
;
отримуємо:
Теорема 4. Межа зберігає знак нерівності. Якщо.
Доведення:
отже,
слідство:
Теорема 5. Якщо функція обмежена і монотонна на (a, b), то вона має межу:
20-21. Перший і другий чудові межі і слідства.
Теорема.Первий чудовий межа.
Доказ (геометричне):
Наслідки з теореми:
1)
2)
3)
4)
5)
Теорема.Второй чудовий межа.
Доведення:
Біном Ньютона:
. де.
Використовуємо біном Ньютона для доказу нерівності:
Звідси робимо висновок, що. а значить .
Наслідки з теореми:
1)
2)
3)
4)
22. Порівняння нескінченно малихвелічін (Б.М.В.) Еквівалентні нескінченно малі.
Нехай - нескінченно малі величини при. тобто .
Визначення 1. Якщо. то - Б.М.В. одного порядку малості.
Визначення 2. Якщо. то - Б.М.В. більш високого порядку, ніж.
- вищого порядку, ніж ( "про" - Новомосковскется як "про мале").
- нижчого порядку, ніж ( "О" - Новомосковскется як "Про велике").
Визначення 3. Якщо. то і еквівалентні -.
Слідство з визначення 3: при Теорема. Якщо і еквівалентні (). то і Доказ:
Нехай - нескінченно малі величини при і вони еквівалентні).
Тоді.
Б.м. функції і називаються еквівалентними або рівносильними б.м. одного порядку при. якщо
Позначають. при.
Безперервність функції. Визначення безперервності функції в точці і на проміжку. Теорема про арифметичні дії над неперервними функціями. Безперервність складної функції. Обмеженість неперервної функції.
Функція, безперервна в усіх точках деякої області, називається безперервної в цій області.
Функція називається неперервною справа в точці. якщо.
Функція називається неперервною зліва в точці. якщо.
Функція називається неперервною в інтервалі. якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.
Функція називається неперервною на відрізку. якщо вона є безперервною в інтервалі. безперервної справа в точці. тобто і безперервної зліва в точці. тобто .
Теорема про арифметичні дії:
Якщо функція f (x) - неперервна в т. X0. j (x) неперервна в т. x0. тоді:
1) f (x) ± j (x) - безперервна функція в т. X0,
2) f × j - безперервна функція в т. X0,
3) f / j, j (x0) ¹0 - безперервно в т. X0.
26. Теорема Вейєрштрасса про обмеженість функції на замкнутому проміжку.
1) Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку свої найбільше та найменше значення.
І збережений на малюнку
функція неперервна на відрізку і приймає своє найбільше значення M в точці. а найменше m - вточке. Для будь-якого справедливо нерівність:.
2) Якщо функція неперервна на відрізку. то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існує постійна така, що
27. Теорема Больцано-Коші про проміжне значення функції.
Якщо неперервна функція, певна на матеріальному інтервалі, приймає два значення, то вона приймає і будь-яке значення між ними.
Наслідки теореми Больцано-Коші
1. Теорема про нулі безперервної функції.
Якщо функція неперервна на деякому відрізку і на кінцях цього відрізка приймає значення протилежних знаків, то існує точка, в якій значення функції дорівнює нулю.
2. Зокрема будь-який багаточлен непарної ступеня має, щонайменше, один нуль.
28. Визначення оберненої функції. Теорема про неперервність оберненої функції.
Визначення. Нехай функція y = f (x) з областю визначення D (f) і множиною значень R (f). Зворотній до f - функція f-1 визначається як функція з областю визначення D (f-1) = R (f) і множиною значень R (f-1) = D (f). така що f-1 (y) = x тоді й тільки тоді, коли f (x) = y. Таким чином, f-1 повертає y назад в x.
приклади:
Знайти функцію, зворотну функції y = 3x + 5.
Рішення: Функція y = 3x + 5 визначена і зростає на всій числовій осі. Отже, зворотна функція існує і зростає. Вирішуючи рівняння щодо x, отримаємо x = (y-5) / 3.
Показати, що функція y = kx, де (k ≠ 0) обратна сама собі.
Рішення: Функція y = kx визначена і монотонна на всій числовій осі, крім точки x = 0. Отже, зворотна функція існує. Область значень функції - вся числова вісь, крім точки y = 0. Вирішуючи рівняння щодо x, отримаємо x = k / y.
Теорема про неперервність оберненої функції:
Якщо і строго зростає (спадає) на. то на визначена функція. яка буде обернена до. безперервна на і строго зростати (спадати) на.
Доведення :
Припустимо, що функція строго зростає на проміжку.
За слідству з функцій область значень неперервної функції теж є проміжок.
В силу суворого зростання функції для кожного існує єдина точка така, що.
Отже, для функції існує зворотна функція визначена на проміжку і з безліччю значень.
Покажемо, що суворо зростає на.
Нехай і - дві довільні точки з. такі, що і прообразами цих точок будуть точки і. і.
Оскільки - строго зростаюча функція, то нерівність можливо тоді і тільки тоді коли або те ж саме, коли.
В силу довільності робимо висновок, що функція - строго зростає на множині.