Визначення центру ваги

Дивіться також вирішення завдань по знаходженню центру ваги в онлайн розв'язнику Яблонського (С.8) і Мещерського (§ 9).

Центр тяжкості - точка, через яку проходить лінія дії рівнодіючої елементарних сил тяжкості. Він має властивість центру паралельних сил (Е. М. Нікітін. § 42). Тому формули для визначення положення центра ваги різних тіл мають вигляд:
xc = (Σ Gi xi) / Σ Gi;
(1) yc = (Σ Gi yi) / Σ Gi;
zc = (Σ Gi zi) / Σ Gi.

Якщо тіло, центр ваги якого потрібно визначити, можна ототожнити з фігурою, складеної з ліній (наприклад, замкнутий або незамкнений контур, виготовлений з дроту, як на рис. 173), то вага Gi кожного відрізка li можна представити у вигляді добутку
Gi = li d,
де d - постійний для всієї фігури вага одиниці довжини матеріалу.

Після підстановки в формули (1) замість Gi їх значень li d постійний множник d в кожному доданку чисельника і знаменника можна винести за дужки (за знак суми) і скоротити. Таким чином, формули для визначення координат центру ваги фігури, складеної з відрізків ліній. візьмуть вигляд:
xc = (Σ li xi) / Σ li;
(2) yc = (Σ li yi) / Σ li;
zc = (Σ li zi) / Σ li.

Якщо тіло має вигляд фігури, складеної з розташованих різним чином площин або кривих поверхонь (рис. 174), то вага кожної площині (поверхні) можна представити так:
Gi = Fi p,
де Fi - площі кожної поверхні, а p - вага одиниці площі фігури.

Якщо ж однорідне тіло можна розділити на прості частини певної геометричної форми (рис. 175), то вага кожної частини
Gi = Vi γ,
де Vi - обсяг кожної частини, а γ - вага одиниці об'єму тіла.

Після підстановки значень Gi в формули (1) отримуємо формули для визначення координат центру ваги тіла, складеного з однорідних обсягів.
xc = (Σ Vi xi) / Σ Vi;
(4) yc = (Σ Vi yi) / Σ Vi;
zc = (Σ Vi zi) / Σ Vi.

При вирішенні деяких завдань на визначення положення центра ваги тіл іноді необхідно знати, де розташований центр ваги дуги окружності, кругового сектора або трикутника.

Якщо відомий радіус дуги r і центральний кут 2α, стягуваний дугою і виражений в радіанах, то положення центра ваги C (рис. 176, а) щодо центру дуги O визначиться формулою:
(5) xc = (r sin α) / α.

Якщо ж задана хорда AB = b дуги, то у формулі (5) можна зробити заміну
sin α = b / (2r)
і тоді
(5а) xc = b / (2α).

В окремому випадку для півкола обидві формули приймуть вигляд (рис. 176, б):
(5б) xc = OC = 2r / π = d / π.

Положення центра ваги кругового сектора, якщо заданий його радіус r (рис. 176, в), визначається за допомогою формули:
(6) xc = (2r sin α) / (3α).

Якщо ж задана хорда сектора, то:
(6а) xc = b / (3α).

В окремому випадку для півкола обидві останні формули приймуть вигляд (рис. 176, г)
(6б) xc = OC = 4r / (3π) = 2d / (3π).

Центр тяжіння площі будь-якого трикутника розташований від будь-якого боку на відстані не менше однієї третини відповідної висоти.

У прямокутного трикутника центр тяжіння знаходиться на перетині перпендикулярів, восставленний до катетам з точок, розташованих на відстані однієї третини довжини катетів, починаючи з вершини прямого кута (рис. 177).

При вирішенні завдань на визначення положення центра ваги будь-якого однорідного тіла, складеного або з тонких стрижнів (ліній), або з пластинок (площ), або з обсягів, доцільно дотримуватися такого порядку:

1) виконати малюнок тіла, положення центра ваги якого потрібно визначити. Так як всі розміри тіла зазвичай відомі, при цьому слід дотримуватися масштаб;

2) розбити тіло на складові частини (відрізки ліній або площі, або обсяги), положення центрів тяжкості яких визначається виходячи з розмірів тіла;

3) визначити чи довжини, або площі, або обсяги складових частин;

4) вибрати розташування осей координат;

5) визначити координати центрів ваги складових частин;

6) знайдені значення довжин або площ, або обсягів окремих частин, а також координат їх центрів тяжкості підставити відповідні формули і визначення координат центра ваги всього тіла;

7) за знайденими координатами вказати на малюнку положення центра ваги тіла.

§ 23. Визначення положення центра ваги тіла, складеного з тонких однорідних стрижнів

§ 24. Визначення положення центра ваги фігур, складених з пластинок

В останній завданню, а також в задачах, наведених в попередньому параграфі, розчленовування фігур на складові частини не викликає особливих труднощів. Але іноді фігура має такий вигляд, який дозволяє розділити її на складові частини декількома способами, наприклад тонку пластинку прямокутної форми з трикутним вирізом (рис. 183). При визначенні положення центра ваги такої пластинки її площа можна розділити на чотири прямокутники (1, 2, 3 і 4) і один прямокутний трикутник 5 - декількома способами. Два варіанти показані на рис. 183, а і б.

Найбільш раціональним є той спосіб поділу фігури на складові частини, при якому утворюється найменша їхня кількість. Якщо у фігурі є вирізи, то їх можна також включати в число складових частин фігури, але площа вирізаної частини вважати негативною. Тому такий розподіл отримало назву способу негативних площ.

Платівка на рис. 183, в ділиться за допомогою цього способу всього на дві частини: прямокутник 1 з площею всієї платівки, як ніби вона ціла, і трикутник 2 з площею, яку вважаємо негативною.

§ 25. Визначення положення центра ваги перетинів, складених з профілів стандартного прокату

Ці таблиці для кожного профілю містять їх розміри і площу, а для куточків і швелера, крім того, - координати центрів ваги.

§ 26. Визначення положення центра ваги тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму

Щоб вирішувати завдання на визначення положення центра ваги тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму, необхідно мати навички визначення координат центра ваги фігур, складених з ліній або площ.