Визначений інтеграл та його застосування, сторінка 4

Знаходимо абсциси точок перетину прямої з параболами і Прямий розіб'ємо цю фігуру на дві частини - ВАСТ і савсем. Площа S даної фігури дорівнює сумі площ цих частин:

2. Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою, заданої в параметричної формі

Якщо крива АВ, що обмежує криволінійну трапецію задана параметричними рівняннями

Те площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою:

Крім того функції повинні відповідати таким вимогам:

1) неперервна і невід'ємна на

2) має безперервну похідну на

3) знакопостоянна на або якщо і якщо

Обчислити площу фігури, обмеженою еліпсом

Запишемо параметричні рівняння еліпса:

З огляду на властивості симетрії фігури і формулу (4) отримуємо

Зауважимо, що межі інтегрування були знайдені за формулами (4 '):

3. Площа криволінійного сектора

Іноді крива може бути задана не в прямокутній системі координат, а в полярній, рівнянням

Площа криволінійного сектора OM1M2. обмеженого дугою такої кривої і двома полярними радіусами OM1 і OM2. відповідними значеннями # 120593; 1 і # 120593; 2 полярного кута, обчислюється за формулою:

Приклад 6. Знайти площу кардіоїди

Рішення. Кардіоїда це крива, описувана довільної точкою кола кола діаметром a. котиться без тертя і ковзання по нерухомій окружності того ж діаметру. З міркувань симетрії і по формулі (5) отримуємо:

3.2 Обчислення довжини дуги плоскої кривої

1. Довжина дуги кривої, заданої в прямокутних координатах.

Нехай дуга АВ плоскої кривої задана рівнянням y = f (x), де f (x) - безперервно диференціюється функція. Тоді довжина дуги АВ визначається за формулою

Обчислити довжину дуги кривої, абсциси кінців якої х = 1, х = 4.

Оскільки, згідно з формулою (6) маємо:

.

У разі, коли крива задана параметричними рівняннями x = (t), y = ψ (t), де (t), ψ (t) - безперервно диференціюються функції, довжина дуги обчислюється за формулою:

(7), де і - значення параметра відповідні кінців дуги А і В. тобто

Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди, x = 3 (tsin t).

Оскільки всі арки циклоїди рівні, розглянемо першу її арку, уздовж якої параметр t змінюється від 0 до 2π.

Відповідно до формули (7) маємо

Якщо крива задана в полярних координатах рівнянням, то довжина дуги М1М2 обчислюється за формулою

де і відповідає кінців дуги М1 і М2.

Обчислити довжину кардіоїди.

Оскільки кардіоїда симетрична щодо полярної осі, то знайдемо довжину половини цієї лінії, змінюючи полярний кут від 0 до π, а потім подвоїмо результат. За формулою (8) отримуємо

3.3 Обчислення об'ємів тіл

1. Обсяг тіла із заданим поперечним перерізом

Нехай в системі координат OXYZ є тіло, обмежене замкнутою поверхнею. Перетнемо дане тіло площиною, перпендикулярній осі Ох. отримаємо в перетині деяку плоску фігуру з площею

Припустимо, що функція S (x) неперервна на тоді обсяг V даного тіла обчислюється за формулою:

де - площа поперечного перерізу, відповідного абсциссе х довільної точки осі Ох. а - абсциси тих точок цієї осі, через які проходять площині, що обмежують тіло в напрямку осі Ох.

Обчислити обсяг тіла, заданого рівнянням

Дане тіло є Триосний еліпсоїдом з півосями

вона укладена між січними площинами, відповідними значеннями х = 2 і х = 2. Перетин еліпсоїда площиною, перпендикулярної до осі Ох. являє собою еліпс, рівняння якого має вигляд:

Напівосі цього еліпса будуть

За відомою формулою площі еліпса

знаходимо площа поперечного перерізу

За формулою (9) шуканий обсяг буде дорівнює

2. Обсяг тіла обертання

а) Обсяг в прямокутних координатах