Відбір коренів при вирішенні тригонометричних рівнянь в середній школі

Мета цієї розробки показати, як можна об'єднувати повторювані коріння і виключати сторонні корені при вирішенні тригонометричних рівнянь. При цьому не передбачається можливість застосування числової прямої або кола.

Для кращого засвоєння теми непогано ввести канторовской поняття множини і деякі операції над множинами.

Безліч S є деякий збори певних і різних між собою об'єктів нашої інтуїції або інтелекту, мислиме як єдине ціле. Ці об'єкти називаються елементами безлічі S. Суттєво те, що у Кантора збори предметів мислиться як єдине ціле, як один предмет.

Так - безліч цілих чисел,

- безліч парних чисел, тобто чисел кратних 2.

- безліч чисел, що діляться на 3.

- безліч чисел, що діляться на 4.

; ; і т. д безліч чисел, що діляться на 5; на 6; на 7 і т. д.

або - безліч чисел, які при діленні на 3 дають в залишку 2.

; ; ; - безлічі чисел, що дають при діленні на 4 в залишку відповідно 0; 1; 2; 3.

Зауважимо, що ===. (N + 1 також ціле число і для зручності не будемо міняти букву)

Отже, безлічі чисел, дають при діленні на 4 в залишку відповідно 0; 1; 2; 3 можна записати так:; ; .

Кажуть, що безліч А включено в безліч В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В. Символічно це записують так А У - суворе включення, або А В - Нечитка включення.

Над множинами можна виконувати різні операції, ми розглянемо дві з них.

Об'єднання (сума) множин А і В називається множина, що складається з елементів належать одному з множин. Об'єднання множин позначається так А В =.

Очевидно, що =, тут і далі n.

так і залишиться;

Взагалі об'єднання безлічі цілих чисел з будь-яким його підмножиною, дає безліч цілих чисел. Тому кажуть, що безліч цілих чисел універсально.

Різницею множин А і В називають безліч, до якого входять елементи множини А, які не є елементами безлічі В.

Позначають так: А \ В =.

Так \ =. З безлічі всіх цілих чисел віднімається безліч парних чисел, мабуть, що залишився безліч-це безліч всіх непарних чисел.

Виконаємо кілька вправ на знаходження суми і різниці числових множин.

Випишемо елементи кожного безлічі

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; ...

: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; ..

З першого безлічі виключимо ті числа, які містяться у другому

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; ...

: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; ..

Як видно в першому ряду залишилися числа: 2; 6; 10; 14; 18; ... - отримана послідовність чисел є арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 2, а різниця прогресії дорівнює 4.

Запишемо формулу загального члена отриманого ряду. Для цього скористаємося формулою аn = а1 + d (n-1).

У нашому випадку аn = 2 + 4 (n-1) або аn = 4n-2.Так чином формула загального члена послідовності 2; 6; 10; 14; 18; ... -. Перетворимо цю формулу таким чином 4n-2 = 4n-4 + 2 = 4 (n-1) + 2 = 4n + 2. Отже,

Тепер обчислимо різницю цих же множин А \ В

Знову випишемо елементи кожного безлічі

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; ...

: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; ..

З першого безлічі виключимо ті числа, які містяться у другому

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; ...

: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; ..

Отримаємо ряд 2; 6; 10; 14; 18; 22; ... - загальний член, якій ми вже знаходили. Виходячи з визначення різниці множин, маємо,

Знайти суму і різницю наступних числових множин

: 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; ...

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; ...

З першого ряду видалимо ті числа, які є в другій послідовності. Отримаємо наступні послідовності

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; ...

Перша послідовність - арифметична прогресія з загальним членом або ==

Отже =. Очевидно, що різницею вихідних множин є багато чисел виду, тобто

Перейдемо до основної частини роботи, вирішимо тригонометричні рівняння і покажемо, як вказаний прийом допоможе об'єднувати коріння і виключати сторонні.

Вправа №1. Вирішити рівняння

Ліву частину рівняння розкладемо на множники

Твір двох множників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли один з множників дорівнює нулю, а інший при цьому не втрачає сенсу, отже

Вирішимо окремо кожне з рівнянь. У першому випадку, а в другому випадку. або

Якщо говорити "простою мовою", то в першому випадку, повторюється парне число раз, а в другому випадку - непарне число раз. Об'єднуючи безліч парних та непарних чисел, отримуємо безліч всіх цілих чисел, тож остаточну відповідь. відповідь:

Вправа №2. Знайти корені рівняння

Дане рівняння рівносильне сукупності

або або . Об'єднаємо отримані відповіді, записаний перший безліч рішень так:.

=, Отже, загальним рішенням рівняння є

Вправа №3. Знайти корені рівняння

Ліву частину рівняння перетворимо, розклавши її на множники

Вправа №4. Вирішити рівняння

Скористаємося формулою різниці косинусів, отримаємо 2sin3xsin2x = 0, звідки випливає, що

: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; ...

: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; ...

З другого ряду відкинемо ті числа, які містяться в першому ряду, одержимо наступну послідовність чисел:

Загальний член цієї арифметичної прогресії обчислюється за формулою

Вправа №5. Вирішити рівняння

Рівняння рівносильне сукупності

Зауважимо, що якщо з безлічі всіх цілих чисел видалити безліч всіх непарних чисел, то отримаємо безліч всіх парних чисел, тобто

\ =, Але (дійсно числа виду -безліч вcех парних чисел, а числа виду - теж парні, але лише ті, які при діленні на 4 дають в залишку 2. Очевидно, що

Тому остаточну відповідь або x =

Вправа №6. Вирішити рівняння

Дріб дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює 0, а знаменник НЕ дорівнює 0 і не втрачає при цьому сенсу.

Безліч чисел виду те ж саме, що і безліч чисел виду. Тому, якщо з останнього відняти безліч чисел виду, то отримаємо числа виду. Остаточно маємо.

Вправа №7. Вирішити рівняння

Початкове рівняння запишемо в наступному вигляді:

Звідки випливає, що.

Але \ =, отже, вихідне рівняння не має рішень.

Відповідь: немає рішень.

Вправа №8. Вирішити рівняння

Початкове рівняння рівносильне системі:

0; 3; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; ...

2; 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; ...

З першого ряду видалимо ті числа, які містяться у другому ряду, тоді безліч залишилися чисел запишемо в два ряди наступним чином:

3; 9; 15; 21; ... і 0; 12; 24; 36; ...

Загальний членом першого ряду має вигляд, а загальний член другого ряду має вигляд.

Тому що те саме, що і та чи

Вправа №9. Вирішити рівняння

З безлічі парних чисел видалимо безліч чисел, які діляться на 6, тобто числа виду.

0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; ...

0; 6; 12; 18; 24; 30; ...

Решта члени першого ряду представимо так:

2; 8; 14; 20; ... і 4; 10; 16; ...

Загальний член першої послідовності дорівнює 6n-4 або 6n + 2. А загальний член другого ряду рівний 6n-2. отже

З безлічі парних чисел видалимо безліч чисел, що діляться на 6, тобто числа виду.

0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; ...

0; 6; 12; 18; 24; 30; ...

Решта члени першого ряду представимо так:

2; 8; 14; 20; ... і 4; 10; 16; ...

Загальний членом першої послідовності дорівнює 6n 4 або 6n + 2. А загальний член другого ряду дорівнює 6n-2. отже