Вектори, основні властивості векторів

Визначення Впорядковану сукупність (x1. X2. X n) n дійсних чисел називають n-мірним вектором. а числа xi (i =) - компонентами, або координатами, вектора.

Приклад. Якщо, наприклад, деякий автомобільний завод повинен випустити в зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів і 150 комплектів для вантажних автомобілів і автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100 , 10, 50, 150), що має п'ять компонент.

Позначення. Вектори позначають жирними маленькими літерами або буквами з межею або стрілкою нагорі, наприклад, a або. Два вектора називаються рівними. якщо вони мають однакове число компонент і їх відповідні компоненти рівні.

Компоненти вектора можна міняти місцями, наприклад, (3, 2, 5, 0, 1) і (2, 3, 5, 0, 1) різні вектора.
Операції над векторами. Твором вектора x = (x1. X2. Xn) на дійсне число # 955; називається вектор # 955; x = ( # 955; x1. # 955; x2. # 955; xn).

Простір векторів. N -мірним векторне пространствоR n визначається як безліч всіх n-мірних векторів, для яких визначені операції множення на дійсні числа і складання.

Економічна ілюстрація. Економічна ілюстрація n-мірного векторного простору: простір благ (товарів). Під товаром ми будемо розуміти деякий благо або послугу, що надійшли в продаж в певний час в певному місці. Припустимо, що існує кінцеве число наявних товарів n; кількості кожного з них, придбані споживачем, характеризуються набором товарів

де через xi позначається кількість i-го блага, набутого споживачем. Будемо вважати, що всі товари мають властивість довільної подільності, так що може бути куплено будь невід'ємне кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів є векторами простору товарів C = .

Лінійна незалежність. Система e1. e2. em n-мірних векторів називається лінійно залежною. якщо знайдуться такі числа # 955 1. # 955 2. # 955 m. з яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність # 955 1e1 + # 955 2e2 +. + # 955 mem = 0; в іншому випадку дана система векторів називається лінійно незалежною. тобто зазначена рівність можливо лише в разі, коли всі. Геометричний сенс лінійної залежності векторів в R 3. інтерпретованих як спрямовані відтинки, пояснюють такі теореми.

Теорема 1. Система, що складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульової.

Теорема 2. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні (паралельні).

Теорема 3. Для того, щоб три вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарність (лежали в одній площині).

Права та ліва трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правою. якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, c в зазначеному порядку здається совершающимся за годинниковою стрілкою. B іншому випадку a, b, c - ліва трійка. Всі праві (чи ліві) трійки векторів називаються одінаковооріентірованнимі.

Базис і координати. Трійка e1, e2, e3 некомпланарних векторів в R 3 називається базисом. а самі вектори e1, e2, e3 - базисними. Будь-вектор a може бути єдиним чином розкладений по базисних векторах, тобто представлений у вигляді

Ортонормованій базис. Якщо вектори e1, e2, e3 попарно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормованим. а координати x1. x2. x3 - прямокутними. Базисні вектори ортонормированного базису будемо позначати i, j, k.

Будемо припускати, що в просторі R 3 вибрано права система декартових прямокутних координат i, j, k>.

Векторне проізведеніе.Векторним твором вектора а на вектор b називається вектор c. який визначається наступними трьома умовами:

1. Довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b, т. Е.
c = | a || b | sin (a ^ b).

2. Вектор c перпендикулярний до кожного з векторів a і b.

3. Вектори a, b і c. взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку.

Для векторного твори c вводиться позначення c = [ab] або
c = a × b.

Якщо вектори a і b колінеарні, то sin (a ^ b) = 0 і [ab] = 0, зокрема, [aa] = 0. Векторні твори ортов: [ij] = k, [jk] = i. [Ki] = j.

Змішане твір. Якщо векторний добуток двох векторів а і b скалярно множиться на третій вектор c, то такий твір трьох векторів називається змішаним твором і позначається символом ab c.

Змішане твір має просте геометричне тлумачення - це скаляр, по абсолютній величині дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох даних векторах.

Якщо вектори утворюють праву трійку, то їх змішане твір є число позитивне, рівне вказаного об'єму; якщо ж трійка a, b, c - ліва, то a b c <0 и V = - a b c. следовательно V = |a b c|.

Координати векторів, що зустрічаються в задачах першого розділу, передбачаються заданими щодо правого ортонормированного базису. Одиничний вектор, сонаправленнимі вектору а, позначається символом а о. Символом r = ОМ позначається радіус-вектор точки М, символами а, АВ або | а |. | АВ | позначаються модулі векторів а і АВ.

Прімер1.2. Знайдіть кут між векторами a = 2m + 4n і b = m-n. де m і n - одиничні вектори і кут між m і n дорівнює 120 о.

Приклад 1.3. Знаючи вектори AB (-3, -2,6) і BC (-2,4,4), обчисліть довжину висоти AD трикутника ABC.

Рішення. Позначаючи площа трикутника ABC через S, отримаємо:
S = 1/2 BC AD. Тоді AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB × AC | . AC = AB + BC. значить, вектор AC має координати
.

Прімер1.4. Дано два вектора a (11,10,2) і b (4,0,3). Знайдіть одиничний вектор c, ортогональний векторам a і b і спрямований так, щоб впорядкована трійка векторів a, b, c була правою.

Рішення. Позначимо координати вектора c щодо даного правого ортонормированного базису через x, y, z.

Оскільки c ⊥ a, c ⊥ b. то ca = 0, cb = 0. За умовами задачі потрібно, щоб c = 1 і a b c> 0.

Маємо систему рівнянь для знаходження x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

З першого і другого рівнянь системи отримаємо z = -4/3 x, y = -5/6 x. Підставляючи y і z в третє рівняння, матимемо: x 2 = 36/125, звідки
x = ±. Використовуючи умову a b c> 0, отримаємо нерівність

З урахуванням виразів для z і y перепишемо отримане нерівність у вигляді: 625/6 x> 0, звідки випливає, що x> 0. Отже, x =. y = -. z = -.