Вектор стану - фізична енциклопедія

ВЕКТОР СТАНУ (амплітуда стану; символ. Запропонований П. A. M. Дираком) - основне поняття квантової механіки. матем. об'єкт, завдання догрого в определ. момент часу повністю визначає стан квантовомеханіч. системи і, при відомих взаємодіях, її подальшу еволюцію. Той факт, що об'єкт, що описує стан в квантовій механіці. в матем. відношенні повинен являти собою вектор, випливає з осн. принципу квантової механіки - принципу суперпозиції станів (див. Суперпозиції принцип) .З цього принципу слід також, що сукупність В. с. до - л. фіз. системи утворює комплексне векторне простір, до-рої може бути конечномірні або безкінечномірні в залежності від того, чи містить воно кінцеве або нескінченне число лінійно незалежних B. с. Виходячи з визначення скалярного твори B. с. можна кожному вектору цього простору взаємно однозначно зіставити сполучений (дуальний) йому вектор, пов'язаний з слід. співвідношеннями: якщо. де с1. с2 - довільні комплексні числа, то (* означає комплексне сполучення). За термінологією, запропонованою Дираком, вектор наз. "Кет", а зв'язаний йому вектор - "бра", що відповідає розбиття англ. слова bracket (дужка) на дві частини. Якщо координати вектора "кет" в до - л. базисі представляти у вигляді стовпчика, то координати вектора "бра" в зв'язаному базисі можуть бути представлені рядком з комплексно-сполучених чисел: (а1 *. А2 *.). а скалярний добуток двох В. с. і, що позначається (причому), виходить за правилами матричного множення (див. Матриця) шляхом множення рядка, що відповідає, на стовпець, що відповідає. Внаслідок взаємно однозначної відповідності між векторами "кет" і "бра" будь стан динамічний. системи може бути описано за допомогою як В. с. "Кет", так і В. с. "Бра".

Скалярний твір В. с. саме на себе зв. нормою. Воно являє собою узагальнення квадрата довжини звичайного вектора. У квантовій механіці постулюється, що В. с. динамічний. системи мають кінцевої неотріцат. нормою:. (Для В. с. Відповідають "нефізичних" змінним, ця вимога може бути ослаблене; см. Індефінітной метрика.)

У просторі B.с. має сенс поняття ортогональності, до-рої є узагальненням відповідного поняття для звичайних векторів: два B.с. наз. ортогональними один одному, якщо = 0.

Для завдання довільного В. с. динамічний. системи використовується в якості ортогонального нормованого (ортонормированного) базису сукупність В. с. відповідають повного набору вимірюваних фіз. величин для даної системи, т. е. якщо величини F, G. Н складають повний набір, а - відповідні їм ермітовим оператори. то в якості базису використовуються власні B.с.

де F, G. H (позначимо їх набір для стислості однією літерою п) - власні значення операторів Якщо п утворюють дискретний спектр, то відповідні їм власні B.с. можуть бути унормовані на одиницю:

тут - символ Кронекера: = 0, якщо і = 1, якщо п - п '(т. е. якщо F = F', G = G '. H = H'). Довільний В. с. динамічний. системи може бути представлений у вигляді розкладання:

де сп - координати B.C. в базисі-є ф-цію змінних п,

Ф-ція зв. хвильової функцією в поданні величин п. Квадрат модуля хвильової ф-ції, згідно статистич. інтерпретації квантової механіки, дорівнює ймовірності того, що для системи, що знаходиться в стані, описуваному В. с. , Набір визначальних стан величин дорівнює п. T. о. хвильова ф-ція являє собою амплітуду ймовірності. Оскільки завдання хвильової ф-ції повністю визначає В. с. динамічний. системи, можна обчислити ймовірності можливих значень Кi будь-який інший фіз. величини К. яка не входить в повний набір (п). Для цього B.с. повинен бути розкладений по B.с. відповідає іншому повного набору величин, що включає величину К (див. Уявлень теорія).

Якщо власної. значення п (або недо-які з них) утворюють суцільний спектр. підсумовування в (3) замінюється інтегруванням по відповідним величинам, а умова (2) нормування власних В. с. на одиницю замінюється умовою нормування на дельта-функцію:

Квадрат модуля хвильової ф-ції в цьому випадку дорівнює щільності ймовірності даного стану. Імовірність того, що для системи з B.с. величини (п) будуть виявлені в інтервалах n + dn. дорівнює:

Формально умова (2 ') суперечить постулату квантової механіки, що вимагає існування кінцевої норми В. с. Це пов'язано з тим, що В. с. відповідає потужність. значенням фіз. величини, що має безперервний спектр, є матем. ідеалізацією. Насправді будь-яка фіз. величина F. приймаюча безперервні значення, може бути визначена тільки з деякої ступенем точності, яка залежить від дозволу приладу. Тому "фізичні" В. с. що відповідають заданим (середнього) значення вимірюваної величини, являють собою по суті хвильової пакет:

[У більш загальному випадку суперпозиція В. с. (4) може містити коефіцієнти з (F '). плавно змінюються в інтервалі.] За умови нормування (2 '): норма В. с. конечна: при будь-якому кінцевому. T. о. "Фізичні" В. с. (4) задовольняють вимогу існування кінцевої норми. Однак в матем. щодо використання їх представляє ряд незручностей. Тому в апараті квантової механіки, як правило, використовують "монохроматичні" В. с. з умовою нормування (2 '), маючи на увазі, що з них завжди можна скласти "фізичні" В. с. з кінцевою нормою.

Для динамічний. системи, що складається з N частинок, повним набором вимірюваних величин може служити сукупність просторових координат всіх частинок

разом з величинами, визначальними внутр. ступеня свободи частинок (напр. спинами). Координати В. с. в цьому базисі

наз. хвильової ф-цією в конфігураційному поданні. Умова існування кінцевої норми В. с.

означає, що В. с. належать гіл'бертовому простору. Використання в матем. апараті квантової механіки власних В. с. з нескінченною нормою (2 ') для величин, що мають безперервний спектр, вимагає формального розширення простору Гільберта шляхом включення в нього також В. с. з нескінченною нормою за умови, що хвильові пакети (4), складені з суперпозиції таких B.с. мають кінцевої нормою.

У квантовій теорії поля В. с. часто задається в чисел заповнення поданні. В. с. системи частинок з імпульсами і ін. квантовими числами виходить (з точністю до нормує множника) в результаті дії операторів народження частинок на В. с. вакууму:

У разі, коли число часток в системі може змінюватися (т. Е. В результаті взаємодій відбувається народження або знищення частинок), для завдання B.с. використовується також Фока уявлення (в к-ром число частинок в системі не фіксоване).

Літ .: Дірак П. A. M. Принципи квантової механіки, пров. з англ. [2 видавництва.], M. 1979; Mессіа А. Квантова механіка, пров. з франц. т. 1-2, M. 1978-79. С. С. Герштейн.