варіація функції
ВАРІАЦІЯ ФУНКЦІЇ - числова характеристика функції одного дійсного змінного, пов'язана з її диференціальними властивостями.
1) Нехай f (x) - функція дійсної змінної х, задана на відрізку [а, b]; її варіація V b a (f) є тонна верхня грань сум виду
де а = х0 <х1 <. Функції f (x) класу V [а, b] майже скрізь мають похідні на [а, b] і для них має місце розкладання де А (х) - абсолютно безперервна, S (х) - сингулярна функція, a D (х) - функція стрибків (Лебега розкладання функції обмеженої варіації). Це розкладання єдине, якщо f (a) = A (а) (див. [3] і [2], с. 290). Спочатку клас V [а, b] був введений К. Жорданом в зв'язку з узагальненням Дирихле ознаки збіжності рядів Фур'є кусочно монотонних функцій. К. Жор-дан довів, що ряди Фур'є 2π-періодичних. функцій класу У [0, 2π] сходяться в кожній точці дійсної осі. Однак в подальшому функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних областях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса. Іноді розглядаються класи VФ [а, b], к-які визначаються наступним чином. Нехай Ф (u) (u ≥ 0, Ф (0) = 0) позитивна при u> 0 монотонно зростаюча неперервна функція. Позначимо через V b Фа (f) точну верхню межу сум виду де а = x0 при 1 ≤ р Літ. [1] Jordan С. «С. r. Acad. sci. », 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Haтaнсон І. П. Теорія функцій дійсної змінної, 2 видавництва. М. 1957; [3] Лебег А. Інтеграція і відшукання примітивних функцій, (пров. З франц.), М.-Л. 1934; [4] Барі Н. К. Тригонометричні ряди, М. 1961; [5] Wiener N. «Massachusetts J. Math, and Phys.», 1924, v. 3, p. 72-94; [6] Yоung L. С. «C. r. Acad. sci. », 1937, t. 204, № 7, p. 470-72. 2) Для функції декількох змінних є різні визначення варіацій (Арцела варіація, Віталі варіація, Пьерпонт варіація, Тонеллі плоска варіація, Фреше варіація, Харді варіація). Дуже плідною виявилася також наступне визначення (див. [1]), засноване на використанні Банаха індикатриси. Нехай действітельнозначная функція f (x) = f (x1. Xn) задана і вимірна по Лебегу на n-вимірному кубі Qn. Варіацією Vk (f) порядку k (k = 1, 2. n) функції f (x) на кубі Qn зв. число де vk-1 (lt) позначає (k-1) -у варіацію безлічі lt = n. f (x) = t), а інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Це визначення дозволяє перенести на функції декількох змінних багато властивостей функцій обмеженої варіації одного змінного. Напр. б) Якщо послідовність функцій fs (x) (s = 1, 2.) сходиться до f (x) рівномірно на Qn. то в) Якщо функція f (x) неперервна на Qn і все її варіації кінцеві, то f (x) майже всюди має повний диференціал. г) Якщо функція f (x) абсолютно неперервна на Qn. то д) Якщо функція f (x) неперервна на кубі Qn зі стороною 2π, має кінцеві варіації всіх порядків на кубі Qn і може бути періодично продовжена з періодом 2π по кожному аргументу хk. k = 1. n на все n-мірний простір, то її ряд Фур'є рівномірно сходиться до неї на Qn по Прингсхейм. Достатні умови кінцівки варіацій: якщо функція f (x) має на кубі Qn безперервні похідні всіх порядків до (n-k + 1) -го включно, то її варіація порядку k конечна. Ця теорема є остаточною в тому сенсі, що умови на гладкість НЕ улучшаеми ні при одному k. Літ. [1] Вітушкін А. Г. Про багатовимірних варіаціях, М. 1 955.