Узагальнення поняття про показники

УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ Про ПОКАЗНИКАХ.

Глава перша. Цілі показники.
Глава друга. Дробові показники.
Глава третя. Деякі властивості ступеня з раціональним показником.
Глава четверта. Поняття про ірраціональний показнику.
Глава п'ята. Показова функція.

255. Властивості цілих позитивних показників. Показники ступеня до цих пір передбачалися нами цілими і позитивними, причому ми їм надавали сенс, який виражається в наступному визначенні:

Підняти число а в ступінь з цілим і позитивним показником n - значить знайти твір n однакових співмножників ааа. a.

Перерахуємо властивості цих показників, відомі нам з попередніх глав алгебри:

1) при множенні ступенів одного і того ж числа показники їх складаються (Відділ 2 глава 3 § 53);

2) при розподілі ступенів одного і того ж числа показник дільника віднімається з показника діленого, якщо показник дільника не більш показника діленого (Відділ 2 глава 4 § 64);

3) будь-яке число, піднесене в нульову ступінь, дає 1 (Відділ 2 глава 4 § 65);

4) із темного лісу негативного числа в ступінь з парних показником виходить позитивне число, а з непарним показателем- негативне (Відділ 6 глава 1 § 153);

5) щоб підняти до рівня твір, досить підняти в цей ступінь кожен співмножник окремо (Відділ 6 глава 1 § 154, а);

6) щоб підняти ступінь в ступінь, досить перемножити показники цих ступенів (Відділ 6 глава 1 § 154,6);

7) щоб підняти в степепь дріб, досить підняти в цей ступінь окремо чисельник і знаменник (Відділ 6 глава 1 § 154, в);

8) щоб підняти радикал в ступінь, досить підняти в цей ступінь подкоренное число (Відділ 8 глава 4 § 205, г);

9) щоб витягти корінь з ступеня, досить розділити показник ступеня на показник кореня, якщо такий розподіл виконується без остачі (Відділ 6 глава 4 § 168,6).

Тепер ми розширимо поняття про показники, ввівши показники негативні і дробові, які до цих пір ми не вживали. Ми побачимо при цьому, що всі властивості цілих позитивних показників зберігаються і для показників негативних і дрібних.

256. Негативні цілі показники. Ми бачили (Відділ 2 глава 4 § 64), що при розподілі ступенів одного і того ж числа показник дільника віднімається з показника діленого в тому випадку, якщо показник дільника не більш показника діленого. Тепер ми домовимося виробляти віднімання показників і в тому випадку, коли показник дільника більше показника діленого; тоді ми отримаємо в приватному букву з негативним показником; наприклад: а 2. а 5 = а-3. Таким чином, число з негативним показником ми домовимося вживати для позначення частки від розподілу ступенів цього числа в тому випадку, коли показник дільника перевершує показник діленого на стільки одиниць, скільки їх знаходиться в абсолютній величині негативного показника. Так, а-2 означає приватна а. а3. або а 2. а4. або а 3. а5. взагалі приватна а m. а m + 2.

Розуміється в цьому сенсі число з негативним показником дорівнює дробу, у якої чисельник є 1, а знаменник - то ж число, але з позитивним показником, рівним по абсолютній величині негативного показника.

Дійсно, до нашого умові, ми повинні мати:

Скоротивши дві перші дроби на а m і третю дріб на x m (т. Е. В обох випадках скоротивши дроби на чисельник), отримаємо:

Зауважимо, що негативні показники дають можливість уявити будь-яке дробове вираження алгебри під виглядом цілого; для цього варто лише все множники знаменника перенести множителями в чисельник, взявши їх з негативними показниками. наприклад:

Само собою зрозуміло, що таке перетворення цього виразу в ціле є тільки зміна одного зовнішнього вигляду вираження, а не змісту його.

257. Дії над степенями з негативними показниками. Переконаємося тепер, що всі дії над степенями з негативними показниками можна виробляти за тими ж правилами, які були раніше виведені для показників позитивних. Досить виявити це тільки для множення і піднесення в ступінь, так як правила зворотних дій - ділення і витягання кореня - складають простий наслідок правил прямих дій - множення і піднесення.

Множення. Належить показати, що при множенні ступенів показники однакових букв складаються і в тому випадку, коли ці показники негативні. Наприклад, переконаємося, що:

Дійсно, замінивши ступеня з негативними показниками дробом і зробивши дію множення за правилами, що належать до дробям, отримаємо:

Піднесення в ступінь. Треба показати, що при підвищенні в ступінь показники цих ступенів перемножуються і в тому випадку, коли вони негативні. Наприклад, переконаємося, щo