Точки екстремуму функції

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції на даному проміжку.

З малюнка видно, що на відрізку \ left [\ frac35; 1 \ right] вихідна функція спадає, а на відрізку \ left [1; \ Frac75 \ right] зростає. Таким чином, найменше значення на відрізку \ left [\ frac35; \ Frac75 \ right] досягається при x = 1 і дорівнює y (1) = 5 \ cdot 1 ^ 2-12 \ cdot 1 + 2 \ ln 1 + 37 = 30.

Знайдіть найбільше значення функції y = (x + 4) ^ 2 (x + 1) +19 на відрізку [-5; -3].

Знайдемо похідну вихідної функції, використовуючи формулу похідної твори:

Знайдемо нулі похідної: y '(x) = 0;

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції.

З малюнка видно, що на відрізку [-5; -4] початкова функція зростає, а на відрізку [-4; -3] убуває. Таким чином, найбільше значення на відрізку [-5; -3] досягається при x = -4 і одно y (-4) = (-4 + 4) ^ 2 (-4 + 1) + 19 = 19.

Знайдіть точки мінімуму функції y = \ sqrt.

Область визначення: x ^ 2 + 60x +1000 \ geqslant 0;

x ^ 2 +2 \ cdot30x + 30 ^ 2 + (1000-30 ^ 2) = (x + 30) ^ 2 + 100> 0 для всіх речових значень x. Зауважимо, що функція y = \ sqrt t строго зростає на безлічі t \ geqslant0. Звідси точка мінімуму вихідної функції співпаде з точкою мінімуму x_0 функції x ^ 2 + 60x +1000. Точка мінімуму квадратичної функції з позитивним старшим коефіцієнтом збігається з абсцисою вершини відповідної параболи. Вершина параболи має абсциссу x_0 = - \ frac = -30.

Знайдіть найменше значення функції y = (5x ^ 2-70x + 70) e ^ на відрізку [10; 15].

Знайдемо похідну вихідної функції за формулою похідної твори

Обчислимо нулі похідної: y '= 0;

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції на заданому відрізку.

З малюнка видно, що на відрізку [10; 12] вихідна функція спадає, а на відрізку [12; 15] - зростає. Таким чином, найменше значення на відрізку [10; 15] досягається при x = 12 і так само y (12) = (5 \ cdot 12 ^ 2-70 \ cdot 12 + 70) e ^ = -50.

Знайдіть найменше значення функції y = 32tg x - 32x-8 \ pi + 103 на відрізку \ left [- \ frac; \ Frac \ right].

Знайдемо похідну вихідної функції:

y '= 32 (tg x)' - (32x) '- (8 \ pi)' + (103) '= \ frac-32 = \ frac \ geqslant0. Значить, початкова функція є неубивающей на розглянутому проміжку і приймає

найменше значення на лівому кінці відрізка, тобто при x = - \ frac. Найменше значення одно y \ left (- \ frac \ right) = 32tg \ left (- \ frac \ right) -32 \ cdot \ left (- \ frac \ right) -8 \ pi + 103 = -32 + 103 = 71 .

Будемо знаходити точку максимуму функції за допомогою похідної. Знайдемо похідну заданої функції, користуючись формулами похідною твори, похідною x ^ \ alpha і e ^ x:

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції.