Теорема про неперервність функції, що диференціюється

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці a. то вона неперервна в цій точці.

Доведення. За визначенням похідної

Це граничне рівність означає, що вираз під знаком межі можна представити у вигляді

де α (x) - нескінченно мала функція при x → a. тоді

Отже, при x → a.

Зауважимо, що дифференцируемость функції в деякій точці означає її гладкість в околиці цієї точки, що тягне за собою безперервність функції в даній точці. Однак зворотне твердження несправедливо - функція, що володіє властивістю безперервності в деякій точці, не обов'язково диференційована в цій точці.

Мал. 8. Безперервна в точці a функція не є диференційованою в цій точці.