Система лінійних алгебраїчних рівнянь
Система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими - це система рівнянь виду
Тут - невідомі, які треба визначити. Коефіцієнти системи, "> і її вільні члени передбачаються відомими. Індекси коефіцієнта" > системи позначають номери рівняння і невідомого, при якому варто цей коефіцієнт.
Система називається однорідною. якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю,, інакше - неоднорідною.
Система називається квадратної. якщо число рівнянь дорівнює числу невідомих.
Рішення системи рівнянь - сукупність чисел, таких що підстановка кожного замість в систему звертає все її рівняння в тотожності.
Система називається сумісною. якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною. якщо у неї немає жодного рішення. Спільна система може мати одне або більше рішень.
Рішення і спільної системи називаються різними. якщо порушується хоча б одне з рівності:
Спільна система називається визначеною. якщо вона має єдине рішення; якщо ж у неї є хоча б два різних рішення, то вона називається невизначеною. Якщо рівнянь більше, ніж невідомих, вона називається перевизначених.
матрична форма
Система лінійних рівнянь може бути представлена в матричної формі як
Приклад системи лінійних рівнянь
Графічне рішення системи лінійних рівнянь
Система з двох рівнянь з двома невідомими має вигляд
Щоб знайти невідомі потрібно вирішити верхнє рівняння щодо: x_2, "> а потім підставити отримане рішення в нижню рівняння: x_2 \ right) + 9x_2 = 15." > Отримано рішення, ">.
Дану систему можна наочно зобразити на графіку у вигляді двох прямих. Точка з координатами, 1) "> є її рішенням.
методи рішення
Прямі (або точні) методи розв'язування СЛАР дозволяють знайти рішення за певну кількість кроків. До прямих методів належать метод Гаусса. метод Гаусса - Жордана, метод Крамера, матричний метод та метод прогонки (для трёхдіагональних матриць).
Ітераційні методи засновані на використанні повторюваного процесу. Вони дозволяють отримати рішення в результаті послідовних наближень. До ітераційним методам ставляться метод Якобі (метод простої ітерації), метод Гаусса - Зейделя, метод релаксації і многосеточние метод.