швидкість тіла

Нехай нам відома траєкторія руху матеріальної точки. Це означає, що нам відома залежність r (t). Розглянемо для простоти випадок, коли траєкторія руху лежить в одній площині (рис 3.1). В цьому випадку декартову систему координат можна вибрати так, щоб одна з координат, наприклад z, не змінювалася б, приймемо її рівною нулю, траєкторія в цьому випадку буде лежати в площині xOy.

У момент часу t1 радіус-вектор точки дорівнював r (t1), в момент часу t2 - r (t2). За час Dt = t2-t1 радіус-вектор змінився на величину Dr = r (t2) -r (t1). Ця зміна радіус-вектора матеріальної точки визначає вектор її переміщення за час t.

Визначимо середню швидкість тіла на проміжку часу Dt наступним чином:

Якщо матеріальна точка рухається рівномірно і прямолінійно, то певна таким чином середня швидкість повністю описує всі особливості такого руху.

У довільному ж випадку видно, що даний вектор v ніяк не пов'язаний з траєкторією руху тіла. Зробивши граничний перехід, ми можемо визначити швидкість тіла в певний момент часу (в даному випадку в момент часу t1):

Таким чином, ми визначили вектор швидкості тіла в певний момент часу, як похідну радіус-вектора тіла за часом. Наведено три позначення даної похідної, які використовуються в літературі. Видно, що визначений таким чином вектор швидкості однозначно пов'язаний з траєкторією руху тіла - він спрямований по дотичній до неї. При русі тіла вектор швидкості може змінюватися як за модулем, так і за напрямком.

У декартовій системі координат:

Вектор Dr визначає вектор переміщення тіла за проміжок часу Dt, шлях ж, прохідний тілом за цей проміжок часу s. буде визначатися довжиною кривої - ділянки траєкторії. Тільки при прямолінійній русі модуль вектора переміщення дорівнюватиме пройденого тілом шляху, за умови, що напрям вектора швидкості не змінюється. Якщо ми візьмемо дуже малий ділянку довільної траєкторії, то він буде являти собою відрізок прямої, на якому тіло рухається рівномірно і прямолінійно.

Для модуля вектора швидкості можемо записати:

,

так як . Звідки видно, що шлях, пройдений тілом, визначається тільки модулем вектора швидкості і часом руху:

Нехай модуль вектора швидкості змінюється з часом так, як показано на рис.2.2.

Для визначення шляху, пройденого тілом за кінцевий проміжок часу Dt розіб'ємо його на N проміжків D t i:

.

Шляхи, пройдені за ці проміжки часу:

.

Повний шлях, пройдений тілом, буде дорівнює їх сумі:

.

У той же час, приблизно, шлях на i-тій ділянці можна визначити як :, тоді пройдений шлях буде приблизно дорівнює:

.

Точне значення пройденого шляху отримаємо після граничного переходу:

Відповідний межа називається певним інтегралом.

Ми визначили швидкість тіла в деякій системі відліку. Знайдемо зв'язок між векторами швидкостей тіла (матеріальної точки), визначених у двох різних системах відліку K і K '(рис.2.3). У якийсь момент часу положення тіла в цих системах відліку визначається радіус-векторами r і r '. З малюнка видно, що r = r0 + r '. Якщо K 'система і тіло рухаються, то після диференціювання за часом отримаємо:

Якщо на початок K 'системи помістити друге тіло, то рівняння (2.5) дозволить нам визначити швидкість першого тіла по відношенню до другого (відносна швидкість): v' = v-v0.

Вектор швидкості матеріальної точки в K системі дорівнює її вектору швидкості в K 'системі плюс вектор швидкості K' системи, певний в K системі відліку.

На закінчення, визначимо середню швидкість руху тіла (середнє значення модуля вектора швидкості) на проміжку часу Dt. Вона дорівнює шляху, пройденого тілом, поділеній на весь час руху:

Аналогічно цьому визначенню середньої швидкості, ми можемо визначити середнє значення будь-якого фізичного величини залежить від часу:

Зокрема, використовуючи загальне визначення (2.7) для знаходження середнього значення вектора швидкості, отримаємо вираз (2.1).