Шовкун а, текстові завдання в курсі математики середньої школи робота над помилками, журнал

У них було розглянуто питання про використання текстових завдань у процесі навчання математики в школі. При цьому головний акцент був зроблений на використання арифметичних способів вирішення текстових завдань в 5-9-х класах, а в останніх лекціях розглядалися і завдання конкурсних іспитів до вузів. Пізніше ті ж лекції були видані у вигляді брошур і розсилалися слухачам курсів наступних потоків.

З огляду на, що вчителів математики необхідно було навчати зовсім не новим, але добре забутим ідеям використання арифметичних способів вирішення текстових завдань (їх застосування відповідає вимогам стандарту з математики), лекції були наповнені великим числом завдань, які вчителі при бажанні могли б використовувати в навчальному процесі.

Зауважимо, що не всі слухачі з першого разу отримали залік за рішення контрольних робіт (контрольна робота № 1), так як не звернули уваги на вказівку: «Вирішіть завдання арифметичним способом». Вони вирішували завдання за допомогою рівнянь. Деякі інші завдання теж викликали труднощі у слухачів курсів і були вирішені невірно.

Всім слухачам повідомлялися результати перевірки контрольних робіт і висилалися передбачувані рішення задач. Тим, хто не отримував заліку, висилали варіант повторної контрольної роботи. Вони повинні були вирішити з нього тільки ті завдання, номери яких збігалися з номерами невирішених завдань.

Розглянемо способи вирішення завдань з контрольних робіт 1 і 2 і характерні труднощі слухачів.

Передбачувані вирішення завдань контрольної роботи № 1

(Залік ставилося за рішення 4 або 5 завдань.)

Ця контрольна робота була присвячена арифметичним способам вирішення завдань. Було потрібно вирішити завдання 1-3 арифметично.

Завдання 1. Для одного коня і двох корів видають щодня 34 кг сіна, а для двох коней і однієї корови - 35 кг сіна. Скільки сіна видають щодня одного коня і скільки одній корові?

Рішення. Запишемо короткий умову задачі:

Для 1 лош. і 2 кор. - 34 кг,

для 2 лош. і 1 кор. - 35 кг.

для 3 лош. і 3 кор. - 34 + 35 = 69 кг,

для 1 лош. і 1 кор. - 69. 3 = 23 кг,

для 1 лош. - 35 - 23 = 12 кг,

для 1 кор. - 23 - 12 = 11 кг.

Відповідь: 12 кг і 11 кг.

Варто зупинитися і на невірному використанні найменувань величин. Треба вважати помилкою записи виду 1 л + 2 к = 34 кг. Це як раз той випадок, коли прагнення до стислості запису породжує курйозний результат.

Завдання 2. У хлопчика було 22 монети - п'ятирубльових і десятикарбованцеві, всього на суму 150 крб. Скільки було п'ятирубльових і скільки вартістю десять монет?

1) 22 # 8729; 5 = 110 р. - було б у хлопчика, якби всі 22 монети були п'ятирубльових;

2) 150 - 110 = 40 р. - надлишок за рахунок вартістю десять монет;

3) 10 - 5 = 5 р. - надлишку доводиться на одну десятикарбованцеві монету;

4) 40. 5 = 8 монет - вартістю десять;

5) 22 - 8 = 14 монет - п'ятирубльових.

Відповідь. 14 монет п'ятирубльових і 8 монет вартістю десять.

Завдання 3. З пункту А в пункт В, відстань між якими 18 км, одночасно виїжджають два велосипедисти. Швидкість одного з них на 5 км / ч менше швидкості іншого. Велосипедист, який першим прибув в В. відразу ж повернув назад і зустрів іншого велосипедиста через 1 год 20 хв після виїзду з А. На якій відстані від пункту В сталася зустріч?

1) 18 # 8729; 2 = 36 км - відстань, яке подолали велосипедисти до зустрічі;

2) - швидкість зближення велосипедистів;

3) 27 - 5 = 22 км / год - подвоєна швидкість першого велосипедиста;

4) 22. 2 = 11 км / год - швидкість першого велосипедиста;

6) - шлях першого велосипедиста до зустрічі;

7) - відстань від пункту В до місця зустрічі.

1) - на стільки кілометрів один велосипедист проїхав більше, ніж інший;

2) - відстань від пункту В до місця зустрічі.

У частині робіт замість терміна «швидкість зближення» неправильно використовувався термін «загальна швидкість».

Вирішіть задачу 4 «з поясненнями».

Завдання 4. За п'ять тижнів пірат Ярема здатний випити бочку рому. А у пірата у Емелі пішло б на це два тижні. За скільки днів прикінчать ром пірати, діючи удвох?

1) 5 # 8729; 7 = 35 днів - час «роботи» Яреми;

2) 2 # 8729; 7 = 14 днів - час «роботи» Емелі;

3) бочки - випиває Ярема в день;

4) бочки - випиває Ємеля в день;

5) бочки - випивають Ярема і Ємеля в день при спільній «роботі»;

6) днів - за стільки днів пірати «прикінчать» ром.

Завдання можна вирішити і без дробів.

За 70 днів «роботи» Ярема випив би 2, а Ємеля - 5 бочок рому, всього 7 бочок рому. Тоді на одну бочку вони витрачають 70. 7 = 10 днів.

Характерна помилка слухачів: деякі з них вирішували це завдання за допомогою рівняння з невідомим в знаменнику. Це явно не метод вирішення завдань в 5-6-х класах.

Вирішіть задачу 5 з введенням літери х.

Завдання 5. Моторний човен проходить відстань між двома пунктами А і В за течією річки за 2 год, а пліт - за 8 год. Який час витратить моторний човен на зворотний шлях?

Рішення. Позначимо відстань AB = x км.

1) - швидкість моторного човна за течією річки;

2) - швидкість течії річки;

3) - швидкість моторного човна в стоячій воді;

4) - швидкість моторного човна проти течії річки;

5) - час руху моторного човна проти течії річки.

Передбачувані вирішення завдань контрольної роботи № 2

(Залік ставилося за рішення 4 або 5 завдань.)

Ця робота була присвячена алгебраїчним способам вирішення завдань. Було потрібно вирішити завдання 1-5.

Завдання 1. Блокнот дорожче зошити в 5 разів. Хочуть купити 3 зошити і 2 блокнота, але якщо купити 5 зошитів і 1 блокнот, то покупка буде дешевше на 6 р. Скільки коштує блокнот?

Рішення. Нехай зошит коштує x р. тоді блокнот варто 5x р. Складемо рівняння:

Рівняння має єдиний корінь 2. Отже, зошит коштує 2 р. а блокнот
2 # 8729; 5 = 10 р.

Тут деякі слухачі давали у відповіді зайву інформацію - вартість зошити. Треба вважати правилом, що відповідь до задачі повинен містити тільки відповідь на поставлене запитання.

Завдання 2. Двоє очистили 400 картоплин; один очищав 3 штуки в хвилину, інший - 2. Другий працював на 25 хв більше, ніж перший. Скільки часу працював кожен?

Рішення. Нехай перший працював x хв, тоді другий працював (x + 25) хв. Складемо рівняння:

Рівняння має єдиний корінь 70, значить, перший працював 70 хв, а другий 95 хв.

Відповідь. 70 хв і 95 хв.

За 25 хвилин другий очистив 2 # 8729; 25 = 50 картоплин. Решта 400 - 50 = 350 картоплин вони очистять за 350. (3 + 2) = 70 хвилин спільної роботи. Тоді перший працював 70 хвилин, а другий 70 + 25 = 95 хвилин.

Завдання 3. Купили два сорти фарби. Першого сорту на 3600 р. а другого - на 2400 р. При цьому фарби другого сорту купили на 6 кілограмів більше, ніж першого, але кілограм фарби другого сорту на 100 р. дешевше кілограма фарби першого сорту. Скільки було куплено кілограмів фарби першого сорту?

Рішення. Нехай фарби першого сорту купили x кг, тоді фарби другого сорту купили (x + 6) кг. Кілограм фарби першого сорту коштував другого сорту що на 100 р. менше, ніж Складемо рівняння:

Рівняння (1) має два корені: x1 = 18 і x2 = -12. Але за змістом завдання x> 0, тому було куплено 18 кг фарби першого сорту.

Наведемо курйозне «рішення», що приводить до вірного відповіді.

1) 3600 - 2400 = 1200 р. - на стільки менше заплатили за фарбу другого сорту;

2) 1200. 100 = 12 кг - було фарби другого сорту;

3) 12 + 6 = 18 кг - було фарби першого сорту.

Це «рішення» суперечить умові завдання: «фарби другого сорту купили на 6 кг більше, ніж першого». Безглуздість другої дії не обговорюємо.

Учитель, звичайно ж, може помилятися, але він повинен вміти знаходити свої помилки, співвідносячи отриманий результат з умовами завдання.

Завдання 4. Два туриста, змінюючись, перенесли рюкзак на відстань 11 км. При цьому кожен ніс рюкзак по одній годині. Яка швидкість другого туриста, якщо 3 км він проходив на 6 хв повільніше, ніж перший турист проходив 2 км?

Рішення. Нехай швидкість першого туриста x км / год. За 1 год він пройшов x км, а що залишилися (11 - x) км пройшов другий турист за 1 год, отже, швидкість другого туриста становить (11 - x) км / год. Перший турист 2 км проходив за ч. А другий 3 км проходив за ч. Що на більше, ніж ч. Складемо рівняння:

Рівняння (2) має єдиний позитивний корінь 5, тому швидкість першого туриста 5 км / год, а швидкість другого туриста 11 - 5 = 6 км / год.

Характерною помилкою рішення було отримання відповіді «5 км / год», що говорить про відсутність перевірки рішення.

Частина слухачів позначила швидкість другого туриста через x км / год. При цьому вийшло рівняння

Далі обидві частини рівняння множили на спільний знаменник трьох дробів 10x (11 - x) і після перетворення отримували рівняння

Рівняння (4) має два корені: x1 = 6 і x2 = 55, але в рішеннях зазвичай не вказувалося, що обидва ці числа є корінням рівняння (3). Корінь 55 чомусь називався «стороннім» і відкидався, так як така швидкість туриста неможлива.

Зауважимо, що термін «сторонній корінь» вже «зайнятий»: це корінь рівняння-наслідку, який не є коренем вихідного рівняння. В даному випадку рівняння (4) є наслідком рівняння (3), але безлічі коренів рівнянь (3) і (4) збігаються. Тобто число 55 не є стороннім коренем для рівняння (3), але воно дійсно не відповідає умові завдання - тільки з іншої причини: при x = 55 швидкість першого туриста, що дорівнює (11 - x) км / год, негативна.

Завдання 5. Бригада лісорубів повинна заготовити 600 м 3 дров. Перші 8 днів бригада працювала за планом, а потім перевиконувала план щодня на 10 м 3. Тому вже за 2 дні до терміну бригада заготовила 640 м 3 дров. Яка щоденна норма (в кубічних метрах) за планом?

Рішення. Нехай бригада повинна була x днів заготовлювати по y м 3 дров в день, і заготовити 600 м 3 дров. Складемо перше рівняння:

Перевиконуючи норму, бригада заготовлювала по (y + 10) м 3 дров в день і працювала
x - 8 - 2 = = x - 10 днів, тому за 8 днів роботи за планом і (x - 10) днів роботи з перевиконанням плану бригада заготовила 8y + (y + 10) (x - 10) м 3 дров. Складемо друге рівняння:

отримаємо два її рішення x1 = 20, y1 = 30 і x2 = -6, y2 = -100. Так як за змістом завдання x> 0 і y> 0, тільки перше рішення відповідає умовам завдання, а друге - ні. Тому щоденна норма за планом становить 30 м 3.