Що таке числа

Числа спочатку виникають як абстракція кількості предметів або подій, що відбулися. Навіть тварини, в процесі вироблення рефлексу, або пошуку їжі можуть принести запитане експериментатором число предметів (подати голос необхідне число раз); якщо це число досить мало.

Далі, люди ще в давнину помітили загальні закономірності ситуацій, коли складаються (віднімаються) безлічі окремих предметів: що коли до двох предметів додають ще два - вийшло кількість предметів завжди дорівнює чотирьом. Стародавні усвідомили, що рахунок дозволяє їм пророкувати деякі ситуації або з'ясовувати минуле. Скажімо, зрозуміти, чи вистачить принесеної видобутку, щоб сплатити данину вождю. Або чи данника розрахувалися =). Пізніше землеробство сформувало уявлення про дроби, торгівля і обмін - про негативні числах (борг і майно).

Розвиток геометрії ввело ірраціональні числа і зробило поняття числа об'єктом чистої науки

Володимир Шомін Відповідає на ваші питання в своїй Прямої лінії

Математик, викладач, програміст

В математиці як такого поняття «число», строго кажучи, немає: є окремо визначаються поняття натурального числа, цілого числа, раціонального числа, дійсного числа і комплексного числа, де кожне наступне є узагальненням іншого; окремо стоять p-адіческіе числа. Подальші узагальнення не прийнято називати числами, скоріше, говорять про множини з операціями - групах, кільцях, модулях, полях, алгебрах, лінійних просторах - так чи інакше узагальнюючих безлічі «чисел».

Натуральні числа можна побудувати як невизначені об'єкти, поведінка яких описують аксіоми, наприклад, система Пеано. Можна спробувати «наївно» визначити натуральне число як клас еквівалентності кінцевих множин щодо ставлення рівнопотужності: два безлічі називаються рівнопотужними, якщо кожному елементу одного можна однозначно зіставити елемент іншого, тоді «числом» будемо називати клас рівнопотужних один одному множин. (Якщо не обмежуватися кінцевими множинами, ми отримаємо, крім натуральних, більш широкий клас об'єктів, званих «кардинальними числами множин»). Але з такими визначеннями треба бути акуратніше, можна легко нарватися на парадокси. З іншого боку, цілком можливо, що поняття числа виникло в житті людини саме так: між двома палицями, двома яблуками і двома зірками є щось спільне, причому не те загальне, що є між яблуком і зіркою. З цього починається математика як метод максимально абстрактного мислення.

Наступні безлічі чисел будуються за допомогою класів еквівалентності цілком строго: ціле число можна визначити як клас еквівалент пар натуральних чисел із загальною різницею, раціональне число - клас еквівалентності пар цілих чисел із загальним приватним, дійсне число - клас еквівалентності послідовностей раціональних чисел, що сходяться до одного межі . Комплексне число визначається як пара дійсних чисел з певними правилами додавання і множення.

Фізик і математик. Студент Хутро-Мата МГУ. Випускник СУНЦ МГУ.

У кожній з областей математики існують аксіоми - набір тверджень про об'єкти і їх властивості. Далі йде поняття моделі - конкретна придумана "штука" з об'єктів і їх властивостей, що задовольняють аксіомам.

Моделей натуральних чисел багато. Наприклад, послідовність множин (спеціально побудована), послідовності виду aN. а2а1, де ашки - це цифри (тобто символи 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), при цьому перша ашка НЕ ​​0.

Моделей дійсних чисел також чимало. Це пряма (геометрична), послідовності aN. а2а1, b1b2..bK. (Вони кінцеві або нескінченні), додекіндови перетину, і багато ін.

У конкретному завданні вибирається найбільш зручна модель. Якщо Вам цікаво визначення дійсних чисел, подивіться тут wikipedia.org в графі аксіоматичний підхід.

Я відповім на ваше запитання цитатою, а точніше - не відповідав.

«Що все ж таке цілісність? Питання здатний викликати тепер уже роздратування філософа, зайнятого важливими проблемами. Це цілісність, само собою зрозуміло! Ні, все-таки? Ця єдність! Але що таке єдність? Єдність є властивість єдиного, одного. Що таке єдине? Справді, що таке одне? Число. Що таке число? Невідомо. Визначення числа не існує. Число визначають через кількість, кількість через рахунок, рахунок через одиницю, одиниця - число. Можна як завгодно формалізувати цю процедуру, наприклад, можна визначати число як «поняття, що служить для кількісної характеристики предметів», з відсиланням до терміну «кількість», причому кількість визначається як «відображення загального і єдиного», єдине, в свою чергу, - як «початок безлічі», «безліч» як «клас», «клас» як «сукупність елементів», т. е. знову єдність одиниць, число. Можна ще абстрактніше: число є «клас всіх рівночисельний класів», а «рівночисельний класи» суть класи, між усіма елементами яких дотримується одне-однозначне відповідність, тобто. Е. Елементу одного класу можна без двозначності зіставити елемент іншого класу. Але ж «елемент класу» неможливо визначити інакше, як одиницю, одиниця є число. З тавтології при визначенні числа ми за будь-якої формалізації не вибирають, досягаючи тільки того, що заплутуємо себе, щоб піти від зустрічі віч-на-віч з цим невідомим - числом, одиницею. Єдність є єдине, єдине є число, число є рахунок одиниць [...] »

показати ще 2 відповіді

Якщо ви знаєте відповідь на це питання і можете аргументовано його обгрунтувати, не соромтеся висловитися

Допоможіть нам знайти відповідь.

Виберіть того, кому варто поставити це питання>

Рейтинг питань за день

Відповіді від тих, хто знає