Розподіл многочленів куточком

Для початку давайте розділимо один на одного два числа:

Як можна це зробити? В першу чергу, ми відкидаємо стільки розрядів, щоб отримане числове значення було більше ніж те, на яке ми ділимо. Якщо ми відітнемо один розряд, то отримаємо п'ять. Очевидно, сімнадцять в п'ять не вміщається, тому цього недостатньо. Беремо два розряду - у нас вийде 59 - воно вже більше, ніж сімнадцять, тому ми можемо виконати операцію. Отже, скільки разів сімнадцять поміщається в 59? Давайте візьмемо три. Перемножуємо і записуємо результат під 59. Разом у нас вийшло 51. Віднімаємо і у нас вийшло «вісім». Тепер зносимо наступний розряд - п'ять. Ділимо 85 на сімнадцять. Беремо п'ять. Перемножимо сімнадцять на п'ять і отримуємо 85. Віднімаємо і у нас виходить нуль.

Вирішуємо реальні приклади

Завдання № 1

Тепер виконаємо ті ж самі кроки, але не з числами, а з многочленами. Для прикладу візьмемо таке:

Зверніть увагу, якщо при діленні чисел друг на друга ми мали на увазі, що ділене завжди більше дільника, то в разі поділу поліномів куточком, необхідно, щоб ступінь діленого була більше, ніж подільника. У нашому випадку все в порядку - ми працюємо з конструкціями другого і першого ступеня.

Отже, перший крок: порівнюємо перші елементи. Питання: на що потрібно помножити $ x $, щоб вийшло $ ^> $? Очевидно, що на ще один $ x $. Множимо $ x + 5 $ на тільки що знайдене число $ x $. У нас є $ ^> + 5 $, яке віднімаємо з діленого. Залишається $ 3x $. Тепер зносимо наступне доданок - п'ятнадцять. Знову подивимося на перші елементи: $ 3x $ і $ x $. На що слід помножити $ x $, щоб вийшло $ 3x $? Очевидно, що на три. Домножаем почленно $ x + 5 $ на три. Коли ми віднімемо, то отримаємо нуль.

Як бачите, вся операція ділення куточком звелася до порівняння старших коефіцієнтів при подільному і дільнику. Це навіть простіше, ніж коли ви ділите числа. Тут не потрібно виділяти якусь кількість розрядів - ми просто на кожному кроці порівнюємо старші елементи. Ось і весь алгоритм.

Завдання № 2

Давайте спробуємо ще:

Перший крок: подивимося на старші коефіцієнти. На скільки потрібно помножити $ x $, щоб записати $ ^> $? Домножаем почленно. Зверніть увагу, при відніманні у нас вийде саме $ 2x $, тому що

\ [X- \ left (-x \ right) = x + x = 2x \]

Зносимо -2 і знову порівняємо перший отриманий коефіцієнт зі старшим елементом подільника. Разом у нас вийшов «красивий» відповідь.

Переходимо до другого наприклад:

Цього разу в якості діленого виступає поліном третього ступеня. Порівняємо між собою перші елементи. Для того щоб вийшло $ ^> $, необхідно $ x $ помножити на $ ^> $. Після вирахування зносимо $ 9x $. Домножаем дільник на $ -x $ і віднімаємо. В результаті наше вираз повністю розділилося. Записуємо відповідь.

Завдання № 3

Переходимо до останньої задачі:

Порівнюємо $ ^> $ і $ x $. Очевидно, потрібно помножити на $ ^> $. У підсумку ми бачимо, що ми отримали дуже «красивий» відповідь. Записуємо його.

Ось і весь алгоритм. Ключових моментів тут два:

  1. Завжди порівнюйте першу ступінь діленого і дільника - повторюємо це на кожному кроці;
  2. Якщо у вихідному виразі пропущені будь-які ступеня, при розподілі куточком їх обов'язково слід додати, але з нульовими коефіцієнтами, інакше відповідь буде неправильним.

Більше ніяких премудростей і хитрощів в такому розподілі немає.

Матеріал сьогоднішнього уроку ніде і ніколи не зустрічається в «чистому» вигляді. Його рідко вивчають в школах. Однак вміння ділити многочлени один на одного дуже допоможе вам при вирішенні рівнянь вищих ступенів, а також всіляких завдань «підвищеної складності». Без цього прийому вам доведеться розкладати многочлени на множники, підбирати коефіцієнти - і результат при цьому аж ніяк не гарантований. Однак многочлени можна ділити і куточком - так само, як і звичайні числа! На жаль, даний прийом не вивчають в школах. Багато вчителів вважають, що розподіл многочленів куточком - це щось шалено складне, з області вищої математики. Поспішаю вас запевнити: це не так. Більш того, ділити многочлени навіть простіше, ніж звичайні числа! Подивіться урок - і переконайтеся в цьому самі. :) Загалом, обов'язково візьміть цей прийом на озброєння. Уміння ділити многочлени один на одного дуже стане в нагоді вам при вирішенні рівнянь вищих ступенів і в інших нестандартних завданнях.

Я сподіваюся, цей ролик допоможе тим, хто працює з поліномами, особливо вищих ступенів. Це відноситься і до старшокласників, і до студентів університетів. А у мене на цьому все. До зустрічі!

  1. Теорема Безу: розкладання на множники
  2. Тест на тему «Значуща частина числа»
  3. додаткові міркування
  4. Комбінаторика в завданні B6: середній тест
  5. Репетитор з математики та натаскування
  6. Завдання на відсотки: стандартний розрахунок за допомогою пропорцій
  • Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
  • Розподіл многочленів куточком