Рівномірна збіжність функціональних послідовностей і рядів

2. Розглянемо тепер послідовність функцій fn (x) = x n. n = 1, 2. на полуінтервале [0,1). тут знову

т. е. послідовність x n> сходиться на полуінтервале [0,1) до функції рівною нулю:

проте x n = 1, і тому

Отже, згідно з тією ж лемме сходиться на полуінервале [0,1) послідовність x n> не сходиться на ньому рівномірно (рис. 125):

3. Послідовність fn (x) = x n. n = 1, 2. сходиться і на відрізку [0,1], але вже до розривної функції

Оскільки послідовність x n> не сходиться рівномірно на полуінтервале [0,1), то вона не сходиться рівномірно і на відрізку [0,1]. Це випливає з того, що якщо нерівність (31.7) не виконується на якомусь безлічі X (в даному випадку на [0,1)), то воно, очевидно, не виконується і на всякому безлічі, що містить в собі X.
Розглянута послідовність є ще одним прикладом сходящейся послідовності безперервних функцій, межа якої вже не є безперервною функцією (першим прикладом такого роду у нас була послідовність часткових сум ряду (31.4)). Нижче буде показано, що якщо зажадати, щоб послідовність не тільки сходилася, але і рівномірно сходилася, то подібна ситуація буде вже неможливою (теореми 7 і 7 ').
Теорема 1 (критерій Коші рівномірної збіжності послідовності). Для того щоб последовательностьfnравномерно сходилася на множествеXк деякої функції. необхідно і достатньо. щоб для будь-якого> 0 існував такий номерn0. що для всехxX. всехn> n0і всехp = 0, 1. виконувалося нерівність

В символічному записі ця умова виглядає наступним чином:

Оскільки з нерівності | z | будь-якого радіусу r. Однак ряд (31.21) не сходиться рівномірно на всій комплексній площині C. Це випливає з того, що послідовність членів ряду (31.21) не прагне рівномірно до нуля на C. бо при будь-якому n = 1, 2. має місце рівність

і тому умова (31.18) свідомо не виконано.
Отже, ряд (31.21) рівномірно сходиться в колі Kr як завгодно великого радіуса r. але не сходиться рівномірно на всій площині C. Це означає, що якщо позначити через s (z) і sn (z) відповідно суму і часткові суми ряду (31.21), то для будь-якого> 0 при заданому колі Kr можна так вибрати номер n0. що для всіх n> n0 і всіх zKr буде виконуватися нерівність | s (z) - sn (z) | <. Номер n0 зависит не только от , но и от r. т. е. n0 = n0 ( ,r ), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n0 также неограниченно возрастает: n0 ( ,r ) = + (если бы это было не так, то ряд (31.21) сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n0. чтобы при всех n> n0 нерівність | s (z) - sn (z) | <выполнялось для всех zC .
5. Ряд z n. zC. сходиться у відкритому колі K = z. | Z | <1> і при будь-якому. 0 . Це випливає, наприклад, з ознаки збіжності Вейерштрасса, так як при | z | | Z n | + | Z | n = 1 і, отже, в колі K не виконується необхідна умова рівномірної збіжності ряду (див. теорему 2).
При | z | <1 члены ряда z n образуют убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому z n = 1/(1 - z ). Если z = r (cos n + i sin n ), то

Прирівнявши дійсну і уявну частини цієї рівності, отримаємо

При фіксованому r. 0