Рівнокутна циліндрична проекція

проекція Меркатора

Рівнокутна циліндрична проекція вперше була запропонована і застосована в 1569 році голландським картографом Меркатором.

Для виведення формул цієї проекції визначимо спочатку масштаб по паралелях в найпростішої з циліндричних проекцій в так званій квадратної проекції. У цій проекції меридіани і паралелі, проведені через однакове число градусів по довготі і широті, утворюють на карті сітку квадратів, причому зберігаються довжини по всіх меридіанах і екватора (проекція равнопромежуточная).

Нехай PC0A0 і PD0B0 (рис. 1) -мерідіани на глобусі радіуса R з нескінченно малою різницею довгот, а прямі

Мал. 1. Два меридіана і дві паралелі на глобусі і на карті в циліндричної проекції

СА і DB - відповідні меридіани на карті в квадратної проекції.

Тоді нескінченно малому відрізку С0D0 довільній паралелі з широтою і радіусом r на глобусі буде відповідати на мапі нескінченно малий відрізок CD, і масштаб по паралелі

Де A0B0 - дуга екватора.

Так як відношення дуг кіл дорівнює відношенню їх радіусів, то

З ОС 0С '. де ОС 0С '= Маємо

З формули видно, що масштаб по паралелі в квадратної проекції змінюється від одиниці до нескінченності, причому одиниці він дорівнює на екваторі (при = 0 °), а нескінченності-в точці полюса (при = 90 °). Полюс в квадратної проекції відіб'ється відрізком прямої, рівним по довжині екватора.

Тепер, щоб зробити масштаб по меридіанах рівним масштабом по паралелях (m = n), т. Е. Щоб перейти від квадратної проекції до рівнокутної (від еліпсів спотворень до кіл), необхідно меридіани квадратної проекції розтягнути в кожній точці в стільки разів, у скільки раз паралелі цієї проекції збільшені по відношенню до відповідних паралелей глобуса, т. е. в раз. Отже, для перетворення в першому наближенні квадратної картографічної сітки в картографічну сітку рівнокутної проекції необхідно відрізки меридіана ОА, АВ, ВС і т. Д. (Рис. 2) відповідно помножити

Мал. 2. Перетворення квадратної проекції в Рівнокутні циліндричну

на 1, 2, 3 і т. д. де 1,2, 3 - відповідно широти центрів цих відрізків. Тоді меридіанний відрізок ОС1 в рівнокутної проекції, відповідний відрізку ОС в квадратної проекції, представиться виразом

А так як відрізки

Меридіанний відрізок ОС 1 буде визначено тим точніше, ніж меншими будуть взяті складові його відрізки, оскільки розтягнення меридіанів має носити безперервний характер від екватора до даної паралелі.

Найбільш точний результат буде отримано тоді, коли меридіанний відрізок D в проекції Меркатора буде складатися з суми нескінченно великої кількості нескінченно малих величин

Де Dx - нескінченно малий відрізок меридіана в квадратної проекції,

DD - відповідний йому нескінченно малий відрізок меридіана в рівнокутної проекції Меркатора. Але з огляду на сталості масштабу по меридіанах в квадратної проекції відрізок

Суму ж нескінченно малих величин у вищій математиці називають інтегралом. Взяти інтеграл від обох частин рівності це означає взяти суму нескінченно малих величин цих частин рівності в певних межах.

Інтеграл від виразу в межах значення широти від 0 до Напишемо так

В результаті інтегрування в лівій частині рівності отримаємо меридіанний відрізок D; права ж частина рівності є табличний інтеграл, рівний

Таким чином, меридіанний відрізок

де С-постійна інтеграції.

Величина, С повинна бути постійною при всіх значеннях широти, тому її легко визначити, взявши = 0 °. При = 0 ° паралель відповідає екватору, для якого D = 0, т. Е.

Переходячи від натурального логарифма до десяткового і висловлюючи D в головному масштабі карти і в сантиметрах, матимемо остаточну робочу формулу для обчислення меридіанного відрізка D в рівнокутної циліндричної проекції для кулі

Формула показує, що меридіанний відрізок D для полюса (= 90 °) дорівнює нескінченності, т. Е. Полюс на карті в цій проекції не відіб'ється.

Беручи ж Землю за еліпсоїд, матимемо формулу

Де а - радіус екватора земного еліпсоїда (виражений в метрах),

U - та ж величина, що і в формулі (22) рівнокутної конічної проекції.

Відстані між меридіанами в рівнокутної проекції, як і в квадратної проекції, визначаються за формулою

Де виражено в радіанної міру. Беручи Землю за еліпсоїд і висловлюючи в головному масштабі карти і в сантиметрах, матимемо

Часто ця формула пишеться у вигляді

Де У - відстань від середнього меридіана карти до обумовленого,

° -різницю довгот середнього і визначається меридіанів, виражена в градусах, ° = 57 °, 3.

Очевидно, що спотворення в рівнокутної циліндричної проекції на дотичному циліндрі будуть виражатися формулами

Для обчислення меридіанних відрізків D, ординат у і масштабів в рівнокутної циліндричної проекції на посічених циліндрі робочі формули будуть мати вигляд

Де r0- радіус паралелі перетину з широтою 0 на земному еліпсоїді,

r-радіус паралелі з широтою на земному еліпсоїді, за якою визначається масштаб,

-головний масштаб карти,

° - різниця довгот середнього і визначається меридіанів, виражена в градусах.

Картографічна сітка в проекції Меркатора

Для побудови картографічної сітки в проекції Меркатора і нанесення опорних пунктів на составляемую карту необхідно знати прямокутні координати (меридіанний відрізок D і ординату у) точок перетину меридіанів і паралелей і опорних пунктів.

Значення D по аргументу широти середнє вибирається зі спеціальних таблиць, складених гідрографічного управління ВМФ, а значення у обчислюється за формулою (35).

За початок координат на морських картах береться точка перетину середнього меридіана і головною паралелі морського басейну, для якого складаються карти. Ця паралель є паралеллю перетину, і масштаб по ній дорівнює одиниці.

Знаючи прямокутні координати вершин кутів рамки аркуша карти, знаходять розміри сторін цієї рамки, як різниці меридіанних відрізків D для південної і північної паралелей і різниці значень у для західного і східного меридіанів. За знайденими розмірами сторін будують прямокутник (внутрішню рамку аркуша), який буде основою для побудови проміжних меридіанів і паралелей карти, а також для нанесення опорних пунктів.

Меридіани і паралелі в проекції Меркатора зображуються паралельними і взаємно-перпендикулярними прямими, тому для їх побудови досить визначити меридіанні відрізки D. Для точок перетину паралелей карти з віссю X і ординати у для точок перетину меридіанів карти з віссю У. Коли ці значення знайдені, визначають різниці D - Dю і у - у3 для зазначених точок. Тут Dю - меридіанний відрізок південній паралелі, а уз- ордината західного меридіана. Ці різниці відкладають від вершини південно-західного кута рамки по західній і південній сторонах і через точки відкладення проводять лінії, паралельні відповідно південній і бічний сторонам, які і будуть паралелями та меридіанами карти.

Рис 3 Картографічна сітка в рівнокутної циліндричної проекції (Меркатора)

На рис. 3 показана картографічна сітка в рівнокутної циліндричної проекції (на дотичному циліндрі) для зображення земної кулі. Значення масштабів в цій проекції наведені в таблиці 4.

Масштаби в рівнокутної циліндричної проекції Меркатора.

Завдяки тому, що проекція Меркатора є рівнокутної, а меридіани зображуються в ній паралельними прямими, вона володіє однією чудовою властивістю: лінія, яка перетинає всі меридіани під одним і тим же кутом, зображується в цій проекції прямої. Така лінія називається локсодромії. Зображення, що рухається судно, якщо воно за допомогою компаса тримає один і той же курс, фактично йде по локсодромії. Зазначене властивість проекції Меркатора призвело до широкого її використання для морських карт.

Мал. 4. Ортодромія і локсодроми на карті в проекції Меркатора

Ортодромія і локсодроми

По карті, складеній в проекції Меркатора, легко і просто відзначати шлях судна і визначати його постійний курс, т. Е. Напрям, за яким воно повинно рухатися, щоб потрапити з однієї точки в іншу. Постійний курс судна визначається шляхом вимірювання транспортиром кута між прямою, що з'єднує ці точки на карті, і одним з меридіанів.

Однак слід зауважити, що при великій відстані між точками А і В (рис. 4) локсодроми на сфері значно відходить в сторону від ортодромії (найкоротшої відстані між цими точками), яка в проекції

Мал. 5. Ортодромія і локсодроми між Нью-Йорком і Москвою на карті в проекції Меркатора.

Меркатора зображується кривою лінією. В цьому випадку штурман веде судно не по одному курсу, а по декількох, змінюючи напрямок руху в певних точках (а і b). Шлях судна при цьому відіб'ється на карті у вигляді ламаних ліній хорд, вписаних в ортодромії. Стосовно до малюнка, судно з точки А до точки А піде під азимутом з точки А до точки b - під азимутом, з точки b до кінцевої точки В - під азимутом.

Для наочності можна вказати (рис. 5), що між Нью-Йорком і Москвою довжина ортодромії становить 7507 км, а локсодромії - 8371 км, т. Е. Різниця між їх довжинами дорівнює 864 км. Найбільше видалення точок локсодромії від ортодромії тут досягає 1650 км.

Друге зручність проекції Меркатора в застосуванні її для морських навігаційних карт полягає в тому, що вона дозволяє легко, з достатньою для практики точністю, визначати по карті відстані в морських милях, не вдаючись при цьому до побудови особливих масштабів, а користуючись лише поділами (в градусах або хвилинах), нанесеними на бічних сторонах рамки карти. Морська миля рівна 1852 м, що приблизно відповідає середній довжині дуги меридіана в одну хвилину.

Якщо, наприклад, по карті потрібно визначити в морських милях відстань АВ (рис. 42), то, знявши розчином циркуля відрізок АВ, прикладають циркуль до найближчої бічній стороні рамки карти так, щоб середина отрезка- точка С-виявилася на середній широті точок А і в (в точці С1). Кількість меридіанних хвилин, підрахована в межах цього відрізка, і буде висловлювати відстань АВ в морських милях (на рис. 6 відрізок А В = 215 миль).

На закінчення необхідно відзначити, що при складанні топографічних і оглядово-топографічних карт різних масштабів широко використовуються в якості картографічного матеріалу різні Морські карти, складені в рівнокутної циліндричної проекції. Тому знання особливостей цієї проекції має велике практичне значення.

Мал. 6. Визначення відстані АВ в милях по карті в проекції Меркатора

Обчислити меридіанний відрізок D і ординату «у» в рівнокутної циліндричної проекції на дотичному циліндрі для точки з географічними координатами = 30 °, 35 ° (від середнього меридіана, прийнятого за вісь X) при = 1: 5000000. Еліпсоїд Красовського.