Рівняння згасаючих коливань і його рішення
Назва роботи: Рівняння згасаючих коливань і його рішення. Коефіцієнт загасання. Логарифмічний декремент загасання. добротність
Предметна область: Фізика
Опис: Рівняння згасаючих коливань і його рішення. Закон загасання коливань визначається властивостями коливальних систем. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи де s коливається величина описує той чи інший фізичний процес δ = const коефіцієнт загасання ω0 циклічна частота вільних незгасаючих коливань тієї ж коливальної системи т.1 в разі малих затуханий де Період затухаючих коливань з урахуванням формули 7.
Розмір файлу: 92.5 KB
Роботу скачали: 73 чол.
30.Уравненіе згасаючих коливань і його рішення. Коефіцієнт загасання. Логарифмічний декремент загасання. Добротність.
затухаючі коливання # 151; коливання, амплітуди яких через втрат енергії реальної коливальної системою з плином часу зменшуються.
Закон загасання коливань визначається властивостями коливальних систем. Зазвичай розглядають лінійні системи # 151; ідеалізовані реальні системи, в яких параметри, що визначають фізичні властивості системи, в ході процесу не змінюється. Різні за своєю природою лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями.
Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи
де s # 151; величина, що коливається, що описує той чи інший фізичний процес, δ = const # 151; коефіцієнт загасання, (ω0 # 151; циклічна частота вільних незгасаючих коливань тієї ж коливальної системи, т. е. при δ = 0 (при відсутності втрат енергії) називається власною частотою коливальної системи. Рішення рівняння розглянемо у вигляді
Після знаходження першої і другої похідних і їх підстановки в (1) отримаємо
Рішення рівняння залежить від знака коефіцієнта перед шуканої величиною. Нехай цей коефіцієнт позитивний:
Тоді отримаємо рівняння рішенням, якого є функція u = A0cos (ωt + φ). Значить, рішення рівняння (7.1) в разі малих затуханий
Період затухаючих коливань з урахуванням формули (7.2) дорівнює
Якщо A (t) і A (t + Т) # 151; амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, який вирізняється на період, то ставлення
називається декрементом загасання, а його логарифм
# 151; логарифмическим декрементом загасання; Ne # 151; число коливань, що здійснюються під час зменшення амплітуди в е раз. Логарифмічний декремент загасання # 151; постійна для даної коливальної системи величина.
Для характеристики коливальної системи користуються поняттям добротності, яка при малих значеннях логарифмічного декремента дорівнює
З формули випливає, що добротність пропорційна числу коливань Nе, що здійснюються системою за час релаксації.
Для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією пружної сили F = -kx, сила тертя пропорційна швидкості, т. Е.
де r # 151; коефіцієнт опору; знак мінус вказує на протилежні напрямки сили тертя і швидкості.
За даних умов закон руху маятника буде мати вигляд
Використовуючи формулу і приймаючи, що коефіцієнт загасання отримаємо диференціальне рівняння затухаючих коливань маятника:
Коливання маятника підкоряються закону
Коефіцієнт загасання. Коефіцієнт d. визначає швидкість зміни амплітуди, називається коефіцієнтом загасання. Якщо проміжок часу D t = 1 / d. то А 0 / А = е. Звідси випливає фізичний зміст коефіцієнта загасання:
величина 1 / d. дорівнює проміжку часу, після закінчення якого амплітуда коливань зменшується в е = 2.73 раз.
Добротність пружинного маятника
При збільшенні коефіцієнта загасання δ період згасаючих коливань зростає і при δ = ω0 звертається в нескінченність, т. Е. Рух перестає бути періодичним. В даному випадку величина, що коливається асимптотично наближається до нуля, коли t → ∞. Процес не буде коливальним. Він називається апериодическим.
Логарифмічний декремент загасання - безрозмірна характеристика згасаючих коливань, яка вимірюється натуральним логарифмом відносини двох послідовних максимальних відхилень коливається величини в одну і ту ж сторону.
добротність # 151; характеристика коливальної системи, що визначає гостроту резонансу і показує, у скільки разів запаси енергії в реактивних елементах контура більше, ніж втрати енергії на активних елементах за один період коливань.
Добротність обернено пропорційна швидкості загасання власних коливань в системі. Тобто, чим вище добротність коливальної системи, тим менше втрати енергії протягом кожного періоду. Коливання в системі з високою добротністю загасають повільно.
Загальна формула для добротності будь коливальні системи:
.
f # 151; частота коливань
W # 151; енергія, запасена в коливальній системі
P d # 151; розсіює потужність.