Рівняння коливань у фізиці
Коливальними рухами (або коливаннями) у фізиці і техніці називають такі види рухів (або зміни станів), які володіють будь-якою ступенем повторюваності.
Рівняння гармонійних коливань:
де t-час; x-величина змінюється з часом (координата, заряд, струм, ЕРС і т.п.); A- амплітуда коливань - максимальне відхилення величини, що коливається від середнього (нульового) значення; - фаза коливань; - початкова фаза; w- циклічна частота (зміна фази в одиницю часу). За період фаза змінюється на.
Диференціальне рівняння гармонійних коливань
Види періодичних коливань можна з будь-якого ступеня точності можна представити у вигляді суми гармонійних коливань, так званого гармонійного ряду.
Коливання, які буде здійснювати тіло, якщо його вивести зі стану рівноваги (не важливо як) і надати самому собі, називають вільними (власними) коливаннями. Якщо власні коливання викликані наявністю тільки квазіпружної сили, то вони будуть гармонійними.
Коливання тіла, обумовлені одночасним дією квазіпружної сили і сили тертя (яка пропорційна миттєвої швидкості:), називають затухаючими коливаннями.
Рівняння (3) називається диференціальним рівнянням згасаючих коливань. Тут - коефіцієнт загасання.
Рішення диференціального рівняння коливань
Рішенням диференціального рівняння затухаючих коливань (3) є співвідношення виду:
Рівняння (4) називається рівнянням згасаючих коливань. У рівнянні (4) видно, що амплітуда згасаючих коливань залежить від часу. Константи A і визначаються початковими умовами. Амплітуда коливань убуває і вони в цілому виглядають так, як представлено на рис. 1
Період затухаючих коливань обчислюється за формулою (5):
Фізичний коефіцієнта загасання сенс полягає в тому, що коефіцієнт загасання - величина, зворотна часу релаксації. А час релаксації - це час, за яке амплітуда зменшується в e раз. Однак коефіцієнт загасання не цілком характеризує затухання. Зазвичай загасання коливань характеризується декрементом загасання. Останній показує, у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час, що дорівнює періоду коливань. Тобто декремент загасання визначається так:
Логарифм декремента загасання називається логарифмічним декрементом, він, очевидно, дорівнює:
Якщо коливальна система піддається впливу зовнішнього періодичної сили, то виникають так звані вимушені коливання, що мають незатухаючий характер.
Вимушені коливання слід відрізняти від автоколебаний. У разі автоколебаний в системі передбачається спеціальний механізм, який в такт з власними коливаннями «поставляє» в систему невеликі порції енергії.
Приклади розв'язання задач
Знайдіть енергію вільних коливань вантажу підвішеного на пружині Розгляньте випадок фізичного маятника. знаючи, що жорсткість пружини k, амплітуда коливань A.
Знайдемо енергію вільних коливань. Вона представлена двома видами енергії: кінетичної і потенційної. Для кульки, підвішеного на пружині:
Коливання кульки описує рівняння коливань:
запишемо рівняння коливань швидкості кульки, знаючи, що, рух відбувається тільки уздовж осі Х отже:
Підставами (1.2) і (1.3) в (1.1), отримаємо:
знаючи, що для фізичного маятника
Енергія вільних коливань пропорційна квадрату амплітуди коливань
Одне коливальний рух здійснюється по осі Х, інше по осі Y. Коливання гармонійні.
1) Частоти і фази коливань однакові, а амплітуди різні.
2) Частоти коливань однакові, амплітуди різні. Фази, коливань, відрізняються один від одного на.
Визначте, які траєкторії результуючих рухів, якщо ці коливання скласти?
Запишемо рівняння коливань для кожного руху:
Щоб знайти траєкторію результуючого руху, потрібно з рівнянь (2.1), (2.2) виключити час. Для цього досить поділити почленно одне рівняння на інше, в результаті чого отримаємо:
Рівняння (2.3.) Показує, що в даному випадку складання коливань призводить до коливання по прямій лінії, тангенс кута нахилу якої визначається відношенням амплітуд.
2. Нехай фази коливань, відрізняються один від одного на, тоді рівняння мають вигляд:
Щоб знайти траєкторію результуючого руху, виключивши час, потрібно рівняння (2.3) і (2.4) звести в квадрат, попередньо поділивши їх на і відповідно, а потім скласти. Рівняння траєкторії набуде вигляду:
Це - рівняння еліпса. При будь-яких початкових фазах і будь-яких амплітудах двох складаються взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти результуюче коливання буде здійснюватися по еліпсу. Його орієнтація буде залежати від фаз і амплітуд коливань.
1) В цьому випадку складання коливань призводить до того, що коливання відбуваються по прямій, тангенс кута нахилу якої -.
2) Траєкторією результуючого руху є еліпс.