рівняння Ейлера

Лінійні рівняння виду

,

де все постійні, називаються рівняннями Ейлера. Ці рівняння заміною незалежного змінного перетворюються в лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами:

.

Зауваження 1. Рівняння виду

також називаються рівняннями Ейлера і зводяться до лінійних однорідним рівнянням з постійними коефіцієнтами заміною змінних.

Зауваження 2. Приватні рішення рівняння можна відразу шукати у вигляді, при цьому для ми отримуємо рівняння, яке збігається з характеристичним рівнянням для рівняння.

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок рівняння Ейлера.

Рішення: Робимо в рівнянні підстановку, тоді

,

,

і рівняння набуде вигляду

.

Коріння характеристичного рівняння, і загальне рішення рівняння буде. Але так як, то

Вирішимо даний приклад іншим способом.

Рішення: Будемо шукати рішення даного рівняння у вигляді, де - невідоме число. Знаходимо,. Підставляючи в рівняння, отримуємо

Але так як, то чи. Коріння цього рівняння і. Їм відповідає фундаментальна система рішень, і спільне рішення як і раніше буде

.