рішення матриць

Рішення матриць - це поняття, яке узагальнює всі можливі операції, вироблені з матрицями. Математична матриця - таблиця елементів. Про таку таблиці, де m рядків і n стовпців, кажуть, що це матриця має розмірність m на n.

Загальний вигляд матриці:

Для вирішення матриць необхідно розуміти, що таке матриця і знати основні її параметри. Основні елементи матриці:

Основні види матриць:

• Квадратна - така матриця, де число рядків = числу стовпців (m = n).
• Нульова - де всі елементи матриці = 0.
• Транспонована матриця - матриця В. яка була отримана з вихідної матриці A шляхом заміни рядків на стовпці.
• Одинична - все елементи головною діагоналі = 1, всі інші = 0.
• Зворотній матриця - матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті одиничну матрицю.

Матриця може бути симетричною відносно головної і побічної діагоналі. Тобто якщо а12 = а21. а13 = а31, ... .а23 = А32 .... аm-1n = аmn-1. то матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними можуть бути лише квадратні матриці.

Далі наведемо основні методи вирішення матриць.

Методи рішення матриць.

Майже всі методи вирішення матриці полягають в знаходженні її визначника n-го порядку і більшість з них досить громіздкі. Щоб знайти визначник 2го і 3го порядку є інші, більш раціональні способи.

Знаходження визначників 2-го порядку.

Для обчислення визначника матриці А 2го порядку, необхідно з твору елементів головної діагоналі відняти твір елементів побічної діагоналі:

Методи знаходження визначників 3-го порядку.

Нижче наведені правила для знаходження визначника 3го порядку.

Правило трикутника при вирішенні матриць.

Спрощено правило трикутника, як одного з методів вирішення матриць. можна зобразити таким чином:

Іншими словами, твір елементів в першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "+"; так само, для 2го визначника - відповідні твори беруться зі знаком "-", тобто за такою схемою:

Правило Саррюс при вирішенні матриць.

При вирішенні матриць правилом Саррюс. праворуч від визначника дописують перші 2 колонки і твори відповідних елементів на головній діагоналі і на діагоналях, які їй паралельні, беруть зі знаком "+"; а твори відповідних елементів побічної діагоналі і діагоналей, які їй паралельні, зі знаком "-":

Розкладання визначника по рядку або стовпцю при вирішенні матриць.

Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка визначника на їх алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають ту рядок / стовпець, в якій / ом є нулі. Рядок або стовпець, по якій / ому ведеться розкладання, будуть позначати стрілкою.

Приведення визначника до трикутного вигляду при вирішенні матриць.

При вирішенні матриць методом приведення визначника до трикутного вигляду, працюють так: за допомогою найпростіших перетворень над рядками або стовпцями, визначник стає трикутного виду і тоді його значення, відповідно до властивостей визначника, буде дорівнює добутку елементів, які стоять на головній діагоналі.

Теорема Лапласа при вирішенні матриць.

Вирішуючи матриці по теоремі Лапласа, необхідно знати безпосередньо саму теорему. Теорема Лапласа: Нехай δ - це визначник n-го порядку. Вибираємо в ньому будь-які k рядків (чи шпальт), за умови k≤n - 1. В такому випадку сума творів всіх мінорів k -го порядку, що містяться в обраних k рядках (стовпчиках), на їх алгебраїчні доповнення буде дорівнює визначнику.

Рішення зворотної матриці.

Послідовність дій для розв'язання оберненої матриці:

1. Зрозуміти, квадратна чи дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що оберненої матриці для неї не може бути.
2. Зрозуміти, квадратна чи дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що оберненої матриці для неї не може бути.
3. Обчислюємо алгебраїчні доповнення.
4. Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
5. Складаємо зворотну матрицю з алгебраїчних доповнень: всі елементи приєднаної матриці C ділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканої зворотною матрицею щодо заданої.
6. Перевіряємо виконану роботу: множимо матрицю початкову і отриману матриці, результатом повинна стати одинична матриця.

Рішення систем матриць.

Для вирішення систем матриць найбільш часто використовують метод Гаусса.

Метод Гаусса - це стандартний спосіб вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) і він полягає в тому, що послідовно виключаються змінні, тобто за допомогою елементарних змін систему рівнянь доводять до еквівалентної системи трикутного виду і з неї, послідовно, починаючи з останніх (за номером), знаходять кожен елемент системи.

Метод Гаусса є самим універсальним і кращим інструментом для знаходження рішення матриць. Якщо у системи безліч рішень або система є несумісною, то її не можна вирішувати за правилом Крамера і матричних методом.

Метод Гаусса має на увазі також прямий (приведення розширеної матриці до ступінчастого вигляду, тобто отримання нулів під головною діагоналлю) і зворотний (отримання нулів над головною діагоналлю розширеної матриці) ходи. Прямий хід і є метод Гаусса, зворотний - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана відрізняється від методу Гаусса лише послідовністю виключення змінних.