Прямокутник - спиш у Антошки

Визначення 1. Прямокутник - це плоска геометрична фігура, що складається з чотирьох точок, з'єднаних між собою відрізками так, що вони не перетинаються ніде, крім цих самих точок.

Визначення 2. Прямокутник - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.

Прямокутником можуть бути паралелограм, квадрат або ромб. Тому можна ще сформулювати визначення прямокутника.

Визначення 3. Прямокутник - це паралелограм, у якого всі чотири кути прямі.

Прямокутники відрізняються між собою тільки ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротку - шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

2. Протилежні сторони прямокутника рівнобіжні:

3. Прилеглі боку прямокутника завжди перпендикулярні:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Всі чотири кута прямокутника прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. Діагоналі прямокутника мають однакової довжини:

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

AO = BO = CO = DO = d / 2

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола

11. Діагональ прямокутника є діаметром описаної окружності

Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін.

Шириною прямокутника називають довжину коротшою пари його сторін.

Часто в задачах потрібно знайти довжину прямокутника, нижче представлені формули для цього

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через діагональ і іншу сторону:

a = √ (d 2 - b 2) і відповідно b = √ (d 2 - a 2)

Доказ: Властивість 7. 2d 2 = 2a 2 + 2b 2 # 8658 (скоротимо коеефіціент 2) d 2 = a 2 + b 2 # 8658 a 2 = d 2 - b 2 # 8658 a = √ (d 2 - b 2)

2. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через площу і іншу сторону:

a = S / b і відповідно b = S / a

Доказ: S = a • b # 8658 a = S / b або b = S / a

3. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через периметр і іншу сторону:

a = (P - 2b) / 2 і відповідно b = (P - 2a) / 2

Доказ: P = 2 (a + b) # 8658 2 b = (P - 2a) # 8658 b = (P - 2a) / 2

4. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) через діаметр і кут α:

a = d sinα і відповідно b = d cosα

5. Формула сторони прямокутника (довжини і ширини прямокутника) за діаметр і кут β:

a = d sin β / 2 і відповідно b = d cos β / 2

Діагоналлю прямокутника називається будь-який відрізок з'єднує дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

Доказ: Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

2. Формула діагоналі прямокутника через площу і будь-яку сторону:

d = (√ (S 2 + a 4)) / a = (√ (S 2 + b 4)) / b

3. Формула діагоналі прямокутника через периметр і будь-яку сторону:

d = (√ (P 2 - 4Pa + 8a 2)) / 2 = (√ (P 2 - 4Pb + 8b 2)) / 2

4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, і довжину сторони протилежної цьому кутку:

7. Формула діагоналі прямокутника через косинус кута, прилеглого до діагоналі, і довжину сторони прилеглої до цього кутку:

8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями і площею прямокутника

Периметром прямокутника називається сума довжин всіх сторін прямокутника.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметру прямокутника через дві сторони прямокутника:

P = 2a + 2b або P = 2 (a + b)

Онляйн обчислити периметр можна тут

2. Формула периметру прямокутника через площу і будь-яку сторону:

P = (2S + 2a 2) / a = (2S + 2b 2) / b

3. Формула периметру прямокутника через діагональ і будь-яку сторону:

P = 2 (a + √ (d 2 - a 2)) = 2 (b + √ (d 2 - b 2))

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола і будь-яку сторону:

P = 2 (a + √ (4R 2 - a 2)) = 2 (b + √ (4R 2 - b 2))

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола і будь-яку сторону:

P = 2 (a + √ (Do 2 - a 2)) = 2 (b + √ (Do 2 - b 2))

Площею прямокутника називається простір обмежений сторонами прямокутника, тобто в межах периметра прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

Онлайн обчислити площу прямокутника можна тут

2. Формула площі прямокутника через периметр і будь-яку сторону:

S = (Pa - 2a 2) / 2 = (Pb - 2b 2) / 2

3. Формула площі прямокутника через діагональ і будь-яку сторону:

S = a√ (d 2 - a 2) = b√ (d 2 - b 2)

4. Формула площі прямокутника через діагональ і синус гострого кута між діагоналями:

5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола і будь-яку сторону:

S = a√ (4R 2 - a 2) = b√ (4R 2 - b 2)

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола і будь-яку сторону:

S = a√ (Do 2 - a 2) = b√ (Do 2 - b 2)

Окружність описана навколо прямокутника

Окружністю описаної навколо прямокутника називається коло проходить через чотири вершини прямокутника, центр якого лежить на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіусу кола описаної навколо прямокутника

1. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через дві сторони:

2. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через периметр квадрата і будь-яку сторону:

R = (√ (P 2 - 4Pa + 8a 2)) / 4 = (√ (P 2 - 4Pb + 8b 2)) / 4

3. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через площу квадрата:

R = (√9S 2 + a 4)) / 2a = (√ (S 2 + b 4)) / 2b

4. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через діагональ квадрати:

5. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через діаметр описаного кола:

6. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, і довжину сторони протилежної цьому кутку:

7. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через косинус кута, прилеглого до діагоналі, і довжину сторони прилеглої до цього кутку:

8. Формула радіусу кола описаної навколо прямокутника через синус гострого кута між діагоналями і площею прямокутника:

Кут між стороною і діагоналлю прямокутника

Формули визначення кута між стороною і діагоналлю

1. Формула визначення кута між стороною і діагоналлю прямокутника через діагональ і сторону:

sin α = a / d і відповідно cos α = b / d

2. Формула визначення кута між стороною і діагоналлю прямокутника через кут між діагоналями:

Кут між діагоналями прямокутника

Формули визначення кута між діагоналями прямокутника

1. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через кут між стороною і діагоналлю:

2. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через площу і діагональ: