Приклади способів вирішення задач по кіл Ейлера

Застосування графічного зображення для вирішення математичних завдань було використано Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем, відомим німецьким математиком і філософом. Розвиток тема отримала в логічних рішеннях математичних і економічних завдань в працях Леонардо Ейлера, знаменитого вченого швейцарського походження, який зробив великий внесок у розвиток української науки.

Деякі завдання з алгебри з декількома множинами легше вирішувати, представивши їх в геометричній формі. На малюнку наочно видно однорідне і змішане кількість. Вільна частина кола однорідна, накладення частин кола - змішаність.

Розберемо на прикладі однієї задачі застосування кіл Ейлера.

У двох п'ятих класах 50 дітей. У театральний гурток ходять - 28, співають у хорі - 33, займаються спортом - 23. До того ж театром і співом захоплюються 11 учнів, з спортсменів на хор ходять 4, а беруть участь в постановках 9. При цьому 3 дитини знаходять час відвідувати всі три кружка. Обчислити: скільки учнів відвідують тільки хор, театральний гурток, спортивну секцію? скільки дітей нічим не займаються крім навчання?

На кресленні кіл Ейлера видно розподіл:

коло Театр містить - 28, коло Хор - 33, коло Спорт - 23;

кола перетинаються і там де загальні області кіл вписуємо відповідні цифри між театром і хором - 11, між спортом і хором - 4, між театром і спортом - 9;

в області перетину трьох кіл вписуємо кількість активних - 3.

За малюнком видно, що:

1. істинних спортсменів 23-9-4 = 10
2. театралів - 28-11-9 = 8
3. майбутніх співаків 33-11-4 = 18

Слід звернути увагу на область накладення всіх трьох кіл. Цифру в ній треба розділити на кількість кіл 3: 3 = 1.

Тепер можна обчислити кількість дітей, які потрапили в кола захоплень. Для цього складемо однорідні області кіл і віднімемо загальна кількість дітей.

(Перша цифра з центру креслення)

Відповідь: займаються в театральному гуртку 8 дітей, в хоровому - 18 дітей, в спорті - 10, не займаються в гуртках 11 дітей.

Логічно можна пересчетать учнів. Троє відвідують всі гуртки, одинадцять - жодного, вісім театралів, десять спортсменів і вісімнадцять співаків, всіх разом 50 учнів.