Позиційні завдання - студопедія

При паралельному проектуванні між оригіналом і його проекціями зберігаються деякі властивості, які називаються проектними, або симетричними (незалежними для даного способу проектування).

Базуючись на інваріантних властивостях паралельного проектування, можна довести будь-яку теорему або відтворити оригінал по заданих проекцій. Можна стверджувати, що в нарисної геометрії існує як би дві системи аксіом. Одна - використовується в процесі побудови проекції геометричної фігури по її оригіналу, і на цьому етапі дії аксіом виконують інваріантні властивості паралельного проектування. Після того, як проекції визначені, вступає в силу інша система - аксіоматика евклідової геометрії.

Розглянемо третій інваріант паралельного проектування, на підставі якого вирішується група завдань, званих позиційними.

Якщо в просторі точка належить лінії, то проекція цієї точки належить проекції лінії:

( "А1 m) [А Î m Þ А a Î m a].

Позиційні завдання, в яких розглядається питання про взаємної приналежності заданих геометричних фігур. Все різноманіття позиційних задач можна віднести до трьох груп:

1) завдання на побудову ліній перетину двох поверхонь;

2) завдання на визначення точок перетину ліній з поверхнею;

3) завдання на приналежність точки поверхні.

Алгоритм для вирішення завдання побудови
лінії перетину поверхонь

В алгоритмі для вирішення завдань щодо визначення лінії перетину двох поверхонь застосовуються допоміжні поверхні (посередники) gi - площині, сфери. При цьому використовуються не окремі площині (одна) і сфери, а кілька або сімейство сфер (три, чотири і т. Д.). У будь-якому побудові вирішуємо завдання на приналежність точки лінії, яка має вигляд

( "А1 m) [А Î m Þ А a Î m a].

При вирішенні задачі на побудову точки, що належить лінії, досить скористатися цією властивістю.

Якщо точка А Î лінії С, то ортогональна проекція A1 Î С1 і А2 Î С2.

Приклад: Вказати горизонтальну проекцію точки С по даній її фронтальної проекції, якщо відомо, що С Î [АВ] (рис. 19):

Мал. 19. Точка С належить прямій

Належність точки поверхні А Î a

Скористаємося тим же властивістю (1) для того, щоб на кресленні поверхні вказати проекції належить їй точки. Спочатку необхідно побудувати проекції будь-якої лінії, що належить поверхні, а потім на цій лінії відзначити точку.

Приклад: У площині a (a çêb) вказати довільну точку А.

1. Проводимо h Î a (а çêb).

Мал. 20. Точки 1 і 2 належать площині

Належність лінії поверхні (l Î a)

Приклад: Побудувати фронтальну проекцію прямої l, яка належить площині D аbс, якщо відома її горизонтальна проекція l1.

Побудова лінії, що належить поверхні, принципово не відрізняється від побудови точки, що належить поверхні. Різниця лише в тому, що визначається проекція не однієї, а n точок, що належать лінії.

При побудові прямої, що належить площині, досить визначити проекції двох точок, на прямій.

Мал. 21. Належність лінії поверхні l Î a площині D АВС

Як визначити точки перетину ліній на комплексному кресленні? Випливає з властивості (2):

Приклад: Показати на епюрі Монжа дві пересічні прямі m і n.

Нехай к = m Ç n,

тоді до Î m і (1) K Î n (2).

тобто однойменні проекції прямих пере-

Сека і проекції точки пере-

ня лежать на одній лінії зв'язку.

Мал. 22. Дві пересічні прямі m і n

Перетин поверхні з поверхнею (a і b)

Дві поверхні перетинаються по лінії, точки якої належать кожній з пересічних поверхонь.

Тому знаходження лінії перетину двох поверхонь зводиться до знаходження спільних точок, що належать як множині точок, складових поверхню a, так і безлічі точок, що входять до складу поверхні b.

Спосіб побудови лінії перетину двох поверхонь полягає в наступному:

Словесний опис на мові нарисної геометрії:

Символічна запис на мові геометрії:

1. Вводимо допоміжні січні площини gi. 2. Визначаємо лінії перетину цієї допоміжної площини з кожної з заданих поверхонь. 3. Знаходимо точки, в яких перетинаються отримані лінії перетину. З'єднуємо ці точки плавною лінією.

Алгоритм знаходження точок, спільних для двох заданих множин точок-поверхонь a і b, можна записати у вигляді

де gi - поверхню конуса; b - поверхня сфери.

Щоб побудувати лінію перетину поверхонь на кресленні, слід знайти точки, загальні для обох поверхонь, за допомогою конкуруючих простих графічних ліній. Для даних поверхонь такими лініями є окружності (pіc. 25).

В алгоритмі для вирішення завдань щодо визначення лінії перетину двох поверхонь a і b в якості допоміжної поверхні (посередника) слід вибирати поверхні, які перетинали б задані поверхні a і b по найбільш простим для побудови лініях - прямим і колах. Тому в якості посередників приймають площині або сфери. У зв'язку з цим можна говорити про різні варіанти вирішення завдань щодо визначення лінії перетину поверхонь.

Мал. 23. Побудова точок лінії перетину конуса і сфери способом січних площин Г2. Г'2. Г "2. ... g2. G'2. G" 2

Мал. 24. Побудова точок лінії перетину двох конічних поверхонь способом концентричних сфер g2 g'2 = g "2

Мал. 25. Побудова точок лінії перетину відкритого тора
і конуса способом ексцентричних сфер

Існує два варіанти використання допоміжних січних площин (рис. 22):

1) площині загального положення,

2) площині проектують.

Існує також два варіанти використання сферичних поверхонь (рис. 24, 25):

1) концентричних сфер - використовується сімейство сфер різних радіусів, проведених з одного центру;

2) ексцентричних сфер - радіуси сфер можуть бути як однаковими, так і різними, проведеними з різних центрів (рис. 25).

Перетин двох площин

Використання універсального алгоритму для вирішення завдань щодо визначення лінії перетину поверхонь простежимо спочатку на простих прикладах перетину двох площин.

Дві площини перетинаються по прямій лінії, тому для її визначення достатньо знайти дві точки, що належать одночасно кожної з заданих площин.

Щоб знайти такі точки, досить ввести дві допоміжні січні площини S2 і g2. тобто двічі виконати послідовність операцій, передбачених алгоритмом:

Приклад: Визначити лінію перетину LK площин a і b.

Мал. 26. Побудова лінії перетину двох площин
за допомогою посередників

Рішення представимо в наступному вигляді.

Словесний опис на мові нарисної геометрії:

Символічна запис на мові геометрії:

1. Проводимо фронтально-проектую-щую площину g2. 2. Визначимо проекції прямих з1 і e1 і точку K1 перетину цих прямих. 3. Проводимо другу фронтально-прое-цірующую площину S2. 4. Визначаємо проекцію прямих р1 і d1 і точку їх перетину L1. 5. Пряма l - є лінія перетину двох площин a і b.

Проводимо: K = g Ç a і b; K1 = c1 Ç e1. L = S Ç a і b; L1 = d1 Ç p1. L = a Ç b.

Визначення точки перетину лінії з поверхнею

Для графічного визначення положення точок перетину (зустрічі) лінії з поверхнею необхідно виконати ряд геометричних побудові (риc. 28):

а) укласти цю лінію в допоміжну поверхню g;

б) визначити лінію (лінії) перетину цієї допоміжної поверхні g із заданою поверхнею;

в) зазначити точки, в яких перетинаються отримана лінія перетину із заданою (рис. 25).

Послідовність рішення представимо в наступному вигляді. У правій частині наводиться символічна запис, відповідна смисловому змісту, зазначених етапів рішення.

Словесний опис на мові нарисної геометрії:

Символічна запис на мові теорії множин:

1. Укладаємо дану лінію в допоміжну поверхню. 2. Визначаємо лінію перетину допоміжної поверхні із заданою поверхнею. 3. Відзначаємо точки перетину отриманої лінії перетину із заданою.

1. Укладаємо а Ì g. 2. Визначаємо l = g Ç a. 3. Відзначаємо К = а Ç l.

Остаточний алгоритм для вирішення завдання визначення точок перетину лінії з поверхнею в символічній формі можна записати у вигляді = (g Ç a) Ç a.

Тут, як і у алгоритму визначення лінії перетину двох поверхонь, в залежності від порядку і взаємного розташування, заданих кривої і поверхнею, безліч шуканих точок може складатися з одного, двох, трьох і більше елементів (точок), рис. 28.

Отриманий алгоритм є універсальним, придатним для вирішення завдання з будь-яким варіантом завдання вихідних даних, в тому числі і в разі, коли потрібно визначити точку перетину (зустрічі) прямої з площиною.

Тепер простежимо, як вирішується це завдання на епюрі Монжа (рис. 28).

Приклад 1: Визначити точки перетину кривої а з довільної циліндричною поверхнею a.

1. Укладаємо криву А2 у фронтально проецирующую циліндричну поверхню g2.

2. Визначаємо лінію перетину поверхонь g і a. Для цього відзначаємо на 2 = g2 = l2 довільні точки 12. 22. 32. 42. 52. Знаючи фронтальні проекції точок, знаходимо їх горизонтальні проекції 11. 21. 31. 41. 51. Поєднавши ці точки плавною кривою, одержимо горизонтальну проекцію l1 кривої l, по якій допоміжна циліндрична поверхня g перетинає дану поверхню a.

3. Відзначаємо точки K1. K'1 перетину кривих a1 і l1. За горизонтальним проекція визначаємо їх фронтальні проекції К2. К'2.

Мал. 27. Перетин кривої з поверхнею

Приклад 2: Визначити точки перетину прямої l з поверхнею прямого кругового конуса a (рис. 28).

Рішення: Укладаємо пряму l2 в площину Р, що проходить через вершину конічної поверхні S. На рис. 28 площину Р задана пересічними прямими, що проходять через довільні точки 52 і 62 і верші-ну S. Дві пересічні прямі перетнуться з горизонтальною площиною в точках 12 і 22. Будуємо горизонтальну проекцію точок 51 і 61. які з'єднаємо з вершиною S1 двома утворюють, і визначимо точки 11 і 21.

Через точки 11 і 21 проведемо горизонтальний слід площини P1. який перетне коло (підстава конуса) в точках 31 і 41. З'єднаємо точки 31 і 41 з S1. отримаємо трикутник (проста фігура, отримана шляхом перетину площиною Р конічної поверхні). Пряма l1 перетинається з отриманим трикутником 31. S1 41 в точках A1 і B1. Точки А і В є точками входу і виходу прямої на конічної поверхні.

Мал. 28. Перетин прямої лінії з поверхнею конуса

Мал. 29. Перетин прямої з поверхнею

Перетин прямої з площиною

Завдання на побудову точки перетину прямої лінії з площиною є найважливішою з позиційних задач курсу нарисної геометрії. Схема її рішення справедлива для вирішення завдань на побудова точок перетину прямих з поверхнею, перетин поверхні з площиною, побудова лінії перетину поверхонь з лінійчатими поверхнями і т.п. У вирішенні цього завдання використовується проектує площину як допоміжна.

Розглянемо схему рішення задачі на побудову точки перетину прямої з площиною (рис. 30, 31).

Дано: Площина b (з Ç d) пряма а (рис. 30).

Потрібно: Побудувати точку перетину прямої а з площиною b.

Так як а - пряма, то в алгоритмі

К = (g Ç b) Ç a

g - площину. Тому і g Ç b = 1,2 - пряма.

1) проводимо через а1 горизонтально-проецирующую площину g1. Цим побудовою реалізується 1-й пункт алгоритму;

2) визначаємо фронтальну проекцію лінії перетину допоміжної січної площини g з даної площиною b-1, 2, використовуючи для цього точки 11 і 21. в яких горизонтальна проекція g1 перетинає прямі з1 і d1;

3) виконання третього пункту алгоритму зводиться до визначення точки К2 = 1,2 Ç b. Знаючи K2. будуємо K1.

Алгоритм рішення не змінюється, якщо площину буде задана паралельними прямими або прямими, за якими вона перетинає площині проекцій (сліди площини).

Мал. 30. Перетин прямої з площиною

Мал. 31. Перетин прямої l з площиною b

Питання для самоконтролю

1. Які завдання ставляться до метричних?

2. Сформулювати визначення приналежності точки прямої, поверхні.

3. Сформулювати визначення приналежності прямій поверхні.

4. Викладіть загальний принцип побудови узагальненого алгоритму для вирішення завдання по визначенню лінії перетину поверхонь.

5. Які точки лінії перетину називаються опорними?

6. У яких випадках площину перетинає поверхню прямого кругового конуса: по двом пересічним прямим; по колу, еліпсу, параболі, гіперболі?

7. Чим слід керуватися при виборі допоміжної січної поверхні при визначенні точок перетину ліній з поверх-ністю?

Завдання: Визначити точку зустрічі прямої АВ з поверхнею сфери, з довільною поверхнею обертання.